Производная функции

ГПОУ ЯО Великосельский аграрный техникум

Производная функции

Выполнили:

Студенты группы 111к

Серебряков Игорь и

Лемешова Оксана

Великое 2017 .

Понятие производной

Производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Правила дифференцирования

• ( u+-v)’= u’+-v’
• (c*v)’= c(u)’
• ( u*v)’= u’*v+ u*v’
• (u/v)’= (u’*v- u*v’)/v 2

Пример решения нахождения производной

Пример 1.

y=5x 3 -6x 2 +7x-2

Решение:

y’= (5x 3)’ -(6x 2)’ +(7x)’-2’ = 5*3x 2 -6*2x+1*7 = 15x 2 -12x+7

Ответ:

y’=15x 2 -12x+7

Пример 2.

х 2 *х= y

Решение:

y’=( х 2 )’ *х+ x 2 *(x)’=2x*x+x 2 *1=2x 2 +x 2 =3x 2

Ответ:

3x 2

Задачи на нахождение производной

Найдите производные следующих функций

• y=cosx
• y=sinx
• y=sinx*cosx
• y=25x 3 -12x 2 ]

К ответу

К решению

Сложная производная функции

Производная функции называется сложной ,если она состоит из нескольких функций y=f(u) ,где u ( x ) – функция от x .

Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу умноженному на производную промежуточного аргумента по аргументу х.

y’=f’(u(x))*u’(x)

Таблица производных сложных функций

Примеры нахождения производной сложных функций

Пример 1.

y=sinx3

Решение:

y’=sinx 3 ’=x 3 ’*cosx 3 =3x 2 *cosx 3

Ответ:

y’=3x 2 *cosx 3

Пример 2.

y(x)=(5x 2 -1) 2

Решение:

y’(x)=((5x 2 -1) 2 )’=2(5x 2 -1)*(5x 2 -1)’=(10x 2 -2)*10x=100x 3 -20x

Ответ:

100x 3 -20x

Задачи на нахождение производной сложной функции

• y=(x 2 -5x) 2
• y=sin(x 2 -1)
• y=e x2-2
• y=cosx 3

К Решению

К Ответам

Примеры нахождений второй производной

Пример 1.

Пример 2.

y=2x 3

y=cosx

Решение:

Решение:

y’=2*3x 2

y”=6*2x

y’=-sinx

y”=-cosx

Ответ:

Ответ:

y”=6*2x

y”=-cosx

Задачи на нахождение второй производной

• y=5x 3 -6x 2 +7x
• y=8x-5x 3 +3x 5 -4
• y=cosx

К Решению

К ответам

Ответы к задачам по нахождению производной

• y’= -sinx
• y’= cosx
• y’=cos 2 x-sin 2 x
• y’=75x 2 -24x

К решению К задачам

Решение к задачам по нахождению производной

• y’=(cosx)’=-sinx
• y’=(sinx)’=cosx
• y’=(sinx)’*cosx+sinx*(cosx)’

y’=cosx*cosx+sinx*(-sinx)=cos 2 x-sin 2 x

4. y’=(25x 3 )’-12x 2 ’=25*3x 2 -12*2x y’=75x 2 -24x

К задачам

К Ответам

Ответы к задачам по нахождению производной сложной функции

• y’=4x 3 -30x 2 +50x
• y’=2x*cos(x 2 -1)
• y’=2x*e x2-2
• y’=3x 2 *sinx 3

К решению

К задачам

Решение к задачам по нахождению сложной производной

• y’=2(x 2 -5x)*(x 2 -5x)’=(2x 2 -10x)*(2x-5)=4x 3 -20x 2 -10x 2 +50x= 4x 3 -30x 2 +50x
• y’=(x 2 -1)’*cos(x 2 -1)= 2x*cos(x 2 -1)
• y’=(e x2-2 )’=(x 2 -2)’*e x2-2 = 2x*e x2-2
• y’=(x 3 )’*sinx 3 = 3x 2 *sinx 3

К задачам

К ответам

Ответы к задачам на нахождение второй производной

• y”=30x-12
• y”=-30x-60x 3
• y”=-cosx

К задачам

К решению

Решение к задачам на нахождение второй производной

• y’=15x 2 -12x+7

y”=15*2x-12=30x-12

2. y’=8-15x 2 -15x 4

y”=-15*2x-15*x 3 =-30x-60x 3

3. y’=-sinx

y”=-cosx

К задачам

К ответам