Исследование производной

Введение

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых главных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со всё более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.

Выбрав тему работы «Исследование производной», я поставил перед собой главную цель:

расширить свои знания в изучении производной.

Исходя из цели, я поставил следующие задачи:

Изучить историю возникновения производной;

Рассмотреть определение производной;

Иметь четкое представление о касательной к кривой;

Узнать геометрический и механический смысл производной;

Рассмотреть зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции;

 Проанализировать производные от элементарных функций, в том числе и производную постоянной;

Выучить правила дифференцирования; Изучить функцию с помощью производной, в том числе и признаки постоянства;

Рассмотреть при каких значения функция возрастает и убывает, имеет наибольшее и наименьшее значение;

Научиться определять точки максимума и минимума(точки экстремума);

Узнать при каких значениях существует экстремум и как его находить;

Рассмотреть направление вогнутости прямой, точки перегиба;

Осознать роль применения производной.

Как и многие разделы математики, дифференцированное исчисление возникло из необходимости решения практических задач. В основном источниками дифференцированного исчисления явились задачи двух видов: а) на нахождение наибольших и наименьших значений величин, т.е. задачи на нахождение экстремумов (от лат extremum – крайнее); б) на вычисление скоростей. В древности и в средние века задачи этих видов решались геометрическими и механическими методами и не связывались общими идеями.

Задачи на нахождения минимума и максимума можно найти еще в «Началах» Евклида (III в. до н.э.). Так, в книге «Начал» доказывается, что из всех параллелограммов, вписанный в данный треугольник, набольшую площадь имеют те, основания которых равно половине основания треугольника.

В 1615 г. В опубликованной работе «Стереометрия винных бочек» немецкий ученый И. Кеплер (1571-1630) высказал идею о том, что вблизи максимума величины ее измерения незаметны, предугадав тот факт, что в точке максимума производная функции равна нулю. Известно, что в 1629 г. Французский математик П. Ферма владел методом определения максимумов и минимумов. И только в середине XVII в. И.Ньютон и Г. Лейбниц исследовали проблему максимумов и минимумов функций  с позиций идеи бесконечно малой величины. Так Лейбницем была сформулирована теорема о достаточном условии возрастания и убывания функции на отрезке.

Значительный вклад в развитие дифференциального исчисления в результате решения прикладных задач внесли швейцарские математики Я.Бернулли (1654-1705) и И.Бернулли (1667-1748). Голландский ученый Х. Гюйгенс (1629-1695) после решения задачи о форме подвешенной за концы массивной цепи написан известному французскому математику Г.Лопиталю (1661-1704) о широте применимости методов дифференцированного исчисления:  «Я вижу с удивлением и восхищением обширность и плодовитость нового метода. Куда бы я ни обратил взор, я замечаю для него новые приложения, я предвижу его бесконечное развитие и прогресс».

В 1755 г. Л. Эйлер в своей работе «Дифференцированное исчисление» развил понятий «абсолютных экстремумов» и «относительных экстремумов», называемых им экстремумами «местного характера». В этой работе он подчеркивал, что значение функции в точке максимума вообще говоря не совпадает с ее наибольшим значением. Для исследования функций Эйлер пользовался не только первой и второй производными, но и производными более высоких порядков.

Теория экстремумов функций и сегодня находит многочисленные практические применения в решении задач производства и экономики, связанных с оптимальным использованием сырья и времени.

Определение производной

Поставим своей задачей определить скорость, с которой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют всевозможные случаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [а, b]. Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+∆x; первое, х, в ходе всего рассуждения считаем неизменным, ∆x — его приращением. Приращение крайнее); б) на вычисление скоростей. В древности и в средние века задачи этих видов решались геометрическими и механическими методами и не связывались общими идеями.