Презентация по математике по теме "Предел функции"

Содержание

Предел функции в точке

Односторонние пределы

Предел функции при x стремящемся к бесконечности

Основные теоремы о пределах

Вычисление пределов

Раскрытие неопределенностей

Первый замечательный предел

Односторонние пределы

В определении предела функции предполагается, что x стремится к x0 любым способом: оставаясь меньше, чем x0 (слева от x0), большим, чем x0 (справа от x0), или колеблясь около точки x0.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Полную информацию смотрите в файле. 

11 класс Урок по теме: «Пределы»

Содержание

• Предел функции в точке
• Односторонние пределы
• Предел функции при x стремящемся к бесконечности
• Основные теоремы о пределах
• Вычисление пределов
• Раскрытие неопределенностей
• Первый замечательный предел

Случай 1.

А

Случай 2.

А

Случай 3.

А

В этом случае говорят, что функция непрерывна в точке а

Предел функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 , кроме, быть может самой точки x 0 .

Число А называют пределом функции в точке x 0 (или при ), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ , что для всех х из δ – окрестности точки x 0 справедливо неравенство:

Предел функции в точке

ε окрестность точки А

y

А

0

х 0

х

δ окрестность точки x 0

Геометрический смысл предела: для всех х из δ – окрестности точки x 0 точки графика функции лежат внутри полосы, шириной 2 ε , ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε .

0 найдется такое δ 0 , что для всех справедливо неравенство: Предел слева записывают так: " width="640"

Односторонние пределы

В определении предела функции

предполагается, что x стремится к x 0 любым способом: оставаясь меньше, чем x 0 (слева от x 0 ), большим, чем x 0 (справа от x 0 ), или колеблясь около точки x 0 .

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к x 0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А 1 называют пределом функции слева в точке x 0 , если для любого ε 0 найдется такое δ 0 , что для всех справедливо неравенство:

Предел слева записывают так:

Односторонние пределы

Число А 2 называют пределом функции справа в точке x 0 , если

Предел справа записывают так:

Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами .

y

y

А 2

А 1 =А 2 =А

А 1

Очевидно, если существует

0

0

х

х

х 0

х 0

то существуют и оба односторонних предела, причем А = А 1 = А 2

M или при x точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2 ε , ограниченной прямыми: у = А + ε , у = А - ε . А 0 х М " width="640"

Предел функции при x стремящемся к бесконечности

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке .

Число А называют пределом функции при , если

y

Геометрический смысл этого определения таков:

существует такое число М , что при х M или при x точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2 ε , ограниченной прямыми:

у = А + ε , у = А - ε .

А

0

х

М

Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функций.

Формулировка теорем, когда или аналогичны, поэтому будем пользоваться обозначением: .

Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов:

Предел произведения двух функций равен произведению пределов:

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Основные теоремы о пределах

Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Предел показательно – степенной функции:

x 0 , то существует соответственно ее левый предел: или ее правый предел: " width="640"

Основные теоремы о пределах

Если между соответствующими значениями трех функций

при этом:

выполняются неравенства:

тогда:

Если функция f(x) монотонна и ограничена при x 0 или при

x x 0 , то существует соответственно ее левый предел:

или ее правый предел:

Вычисление пределов

Вычисление предела:

начинают с подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x).

Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу.

Если при подстановки предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения вида:

то предел будет равен:

Вычисление пределов

Часто при подстановке предельного значения x 0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов:

Эти выражения называются неопределенности , а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности.

Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности

Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби

Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю.

Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности

Если f(x) – дробно – рациональная функция или иррациональная дробь необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x в старшей степени

Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности

Умножим и разделим функцию на сопряженное выражение.

Первый замечательный предел

Функция

не определена при x = 0 .

Найдем предел этой функции при

С

М

x

Обозначим:

S 1 - площадь треугольника OMA,

S 2 - площадь сектора OMА,

S 3 - площадь треугольника OСА,

А

В

О

Из рисунка видно, что S 1 2 3

Первый замечательный предел

С

М

x

В

А

О

Первый замечательный предел

Формула справедлива также при x

Следствия:

Первый замечательный предел