«Решение квадратных уравнений».

Конспект урока алгебры в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений».

Тип урока: урок обобщающего повторения и систематизации знаний.

Цели урока:

• Образовательные: систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений;

• Развивающие: формировать учебно–познавательные навыки по работе с дополнительным материалом, развивать логическое мышление, внимание;
  
  

• Воспитательные: воспитывать интерес к математике, активность, мобильность, взаимопомощь, умение общаться.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Тема нашего урока «Решение квадратных уравнений». Сегодня на уроке мы с вами повторим и закрепим знания и умения решения квадратных уравнений. Каждый из вас должен уметь правильно, быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы”.

Проверим, кто из вас порадовал бы Герберта Спенсера.

1. Актуализация знаний.

Прежде, чем мы приступим к работе, повторим, что вы знаете по этой теме?

• Какие уравнения называются квадратными?

• Является ли квадратным каждое из следующих уравнений: 5х²+8х-4=0, х²-6х+7=0, 7 х³+х²-8=0, 3х²+2х=0, 2х+3=0

• Какие виды квадратных уравнений вам известны?

• Составьте квадратные уравнения с заданными коэффициентами а, в, с и укажите полные и неполные квадратные уравнения.

• Какое выражение называют дискриминантом?

• Как по дискриминанту определить, сколько корней имеет уравнение?

• Заполнить таблицу и сделать вывод о количестве корней квадратного уравнения.

1. Из истории квадратных уравнений.

Историческая справка с презентацией, подготовленная учащимися (одним учащимся).

Представители различных цивилизаций: Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Греции, Древней Индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы овладели приемами решения квадратных уравнений.

1. Аль – Хорезми — арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. Он также дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения.

В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает шесть видов уравнений, выражая их следующим образом:

квадраты равны корням, то есть ах² = bх;

квадраты равны числу, то есть ах² = с;

корни равны числу, то есть ах = с;

квадраты и числа равны корням, то есть ах² + с = bх;

квадраты и корни равны числу, то есть ах² + bх = с;

корни и числа равны квадратам, то есть bх + с = ах².

Трактат Аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения. Трактаты Аль-Хорезми были в числе первых сочинений по математике переведены в Европе с арабского на латынь. До XVI в. алгебру в Европе называли искусством алгебры и макабалы.

1. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг по поводу таких соревнований говорится следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая,

Нна поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам...

Стали прыгать, повисая...

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

а) Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Решение задачи Бхаскары:

(Решается учащимися в классе с помощью формул корней квадратного уравнения)

Пусть было x обезьянок, тогда на поляне забавлялось – .

Составим уравнение: + 12 = х

Х₁=48; Х₂=16

б) Затем учащимся предлагается решить самостоятельно еще одну задачу Бхаскары. Решают квадратное уравнение по теореме, обратной теореме Виета.

Решение задачи Бхаскары:

Сколько обезьян в стае, если квадрат пятой части, уменьшенной тремя, спрятался в пещере, и только одна осталась на виду, взобравшись на дерево?

Решение: задача сводиться к решению квадратного уравнения

и

В заключении Бхаскара делает такое замечание: «Так как есть число отрицательное, то годится только первое решение».

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х² + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b и с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

1. Практическая часть урока.

В школьном курсе математики подробно изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения, способ выделения квадрата двучлена, способ использования теоремы, обратной теореме Виета, графический способ.

Имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения.

Свойства коэффициентов квадратных уравнений:

1). Если а + в +с = 0 , то х1 = 1; х2 = с/а

2). Если а + с = в , то х1 = -1; х2 = - с/а

Решите уравнения, используя эти свойства:

Ответы: 1вариант 1)1; 3/14. 2) -1;40. 3) -1;183/100.

2вариант 1)1:5/13. 2) 1; -24. 3) 1 -197/100.

1. Самостоятельная работа.

Урок подходит к концу. Сегодня мы повторили все необходимые математические понятия, формулы и способы решения квадратных уравнений. Итогом нашего урока будет небольшая самостоятельная работа.

Тетради с решением учащиеся сдают на проверку.

1. Домашнее задание. §25, № 25.17(в,г), 25.20, 25.36

Решить старинную задачу: На вопрос о возрасте одна дама ответила , что ее возраст таков, если его возвести в квадрат или умножить на 53 и из результата вычесть 696 , то получится одно и то же число.

Список литературы:

1. А.Г. Мордкович. Алгебра. 8 класс. – М. : Мнемозина, 2010

2. А.Г. Мордкович. Алгебра. 8 класс. Методическое пособие для учителя.

3. А.С. Конте. Алгебра: математические диктанты. 7 – 9 классы. – Волгоград: Учитель, 2012

4. Жохов В. И., Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Дидактические материалы по алгебре, 8 класс. – М.: Просвещение, 2003.