Материал по математике "Квадратные уравнения в школьном курсе математики"

ВВЕДЕНИЕ

В курсе алгебры 7 – 9 классов квадратному трехчлену уделяется достаточно много времени. Это «Квадратичная функция» и «Квадратные уравнения» в 8 классе, «Квадратные неравенства» в 9 классе. В 7 классе квадратный трехчлен встречается при изучении темы «Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приемов». Данная работа является попыткой обобщить материал по вышеуказанной теме и расширить количество способов решения квадратных уравнений и неравенств, а так же построения графиков квадратичных функций. Анализ ситуации подсказывает, что хорошо овладев различными навыками решения квадратных уравнений (среди них много устных способов) мы значительно экономим время на решение квадратных неравенств и построение графиков квадратичных функций. Квадратные уравнения – это те «киты», на которых покоится величественное здание алгебры. Умение быстро и без ошибок решать задания, содержащие квадратный трехчлен в любых его проявлениях так же актуально и при изучении курса алгебры и начала анализа в 10, 11 классах. Многие тригонометрические, показательные, логарифмические, иррациональные уравнения и неравенства решаются путем приведения их к квадратному уравнению или неравенству.

Для обоснования актуальности темы был проведен опрос среди учащихся 10 «Б» класса, которым было предложено решить несколько квадратных уравнений и неравенств различными способами. Результаты опроса показали, что большинство учащихся при решении квадратных уравнений пользуются традиционным способом решения, используя дискриминант, а при решении квадратных неравенств – метод интервалов. Несколько человек допустили ошибки в решении из–за достаточно громоздких вычислений, при этом затратив много времени. Исходя из вышеизложенного, мы ставим перед собой следующие цели и задачи:

Цели:

Изучить и показать на примерах различные способы решения квадратных уравнений, неравенств.

Показать различные способы графического решения квадратных уравнений.

Задачи:

Изучить содержание учебников алгебры 7, 8, 9 классов (автор А. Г. Мордкович), проанализировать предложенные способы решения квадратных уравнений и неравенств, а так же способы построения графиков функций.

Изучить дополнительную литературу по данной теме, Интернет - источники.

Предложить учащимся различные способы решения квадратных уравнений и неравенств, способы построения графиков квадратичных функций. Эти способы должны быть очевидными, экономить время решения заданий, упрощать вычислительные процессы и приносить удовольствие от процесса решения.

Так же показать нестандартные подходы к решению заданий.

Методы исследования:

Поиск и анализ информации.

Практическое решение заданий различными способами с последующим выбором наиболее рационального решения.

 Цели исследования:

Найти наиболее рациональные, доступные способы решения квадратных уравнений и неравенств, способы построения графиков квадратичных функций.

Изучать и анализировать большой объем информации.

 Задачи исследования:

Освоить основные понятия, связанные с изучением данной темы.

Учиться кратко и доходчиво излагать свои мысли устно и письменно.

Научиться находить в каждом задании наиболее рациональный способ его решения.

Данная работа носит прикладной характер, основными источниками информации для написания работы являются учебники алгебры 7, 8, 9 класса (автор А. Г. Мордкович).

Результатом работы является учебно – методическое пособие для учащихся, в котором кратко изложен теоретический материал по теме работы, приведены примеры решений и даны задания для самостоятельной работы.

Это пособие будет полезным так же и для учащихся 10, 11 классов.

Перед тем, как приступить к работе, мы выдвигаем следующую гипотезу:

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН ЯВЛЯЕТСЯ ВАЖНЫМ ЗВЕНОМ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАХОДИТ ПРИМЕНЕНИЕ В РАЗЛИЧНЫХ ТЕМАХ, ИЗУЧАЕМЫХ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.

НЕМНОГО ИСТОРИИ

О математика! В веках овеяна ты славой,

Светило всех земных светил.

Тебя царицей величавой

Недаром Гаусс окрестил.

Строга, логична, величава,

Стройна в полете, как стрела,

Твоя немеркнущая слава

В веках бессмертье обрела.

Мы славим разум человека,

Дела его волшебных рук,

Надежду нынешнего века,

Царицу всех земных наук.

Поведать мы сегодня вам хотим

Историю возникновения того

Что каждый школьник должен знать –

Историю квадратных уравнений.

 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ДРЕВНЕМ ВАВИЛОНЕ

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются как неполные, так и полные квадратные уравнения. В современной записи их уравнения могли бы выглядеть так:

  х² + х = ѕ; х² - х = 14, 5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

 Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

ДИОФАНТ И КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач:

 «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е. 10 - х. Разность между ними 2х.

  Отсюда уравнение:

  (10 + х)(10 - х) = 96

 или же:

  100 - х² = 96

  х² - 4 = 0

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Весь материал – смотрите архив.