Презентация к уроку алгебры "Первообразная"

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ

Алгебра и начала анализа. 11 А класс.

Учитель математики – Михайленко Л.Л.

МБУ СОШ №15 г. Тольятти

СОДЕРЖАНИЕ

• Понятие первообразной
• Неопределенный интеграл
• Таблица первообразных
• Три правила нахождения первообразных
• Определенный интеграл
• Вычисление определенного интеграла
• Площадь криволинейной трапеции
• Площадь криволинейной трапеции (1)
• Площадь криволинейной трапеции (2)
• Площадь криволинейной трапеции (3)
• Площадь криволинейной трапеции ( 4 )
• Пример (1)
• Пример (2)

В ЧЁМ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ ПРОБЛЕМА?

• Как по скорости движения тела найти закон его движения?

ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ

Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на интервале (a; b) , если на нем производная функции F(x) равна f(x) :

Операцию, обратную дифференцированию называют интегрированием .

Примеры

• f(x) = 2x; F(x) = x 2

F  (x)= (x 2 )  = 2x = f(x)

• f(x) = – sin x; F(x) = с os x

F  (x)= (cos x)  = – sin x = f(x)

• f(x) = 6x 2 + 4; F(x) = 2x 3 + 4x

F  (x)= (2x 3 + 4x)  = 6x 2 + 4 = f(x)

• f(x) = 1/cos 2 x; F(x) = tg x

F  (x)= (tg x)  = 1/cos 2 x= f(x)

КАК СОСТАВЛЕНА ЭТА ТАБЛИЦА?

ПРАВИЛА ОТЫСКАНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ

ЧТО УЗНАЛИ НОВОГО НА УРОКЕ?

• Что уже знали из рассмотренного на уроке?
• Что вызвало затруднение в работе на уроке?
• Оцените урок

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

• Парагр.48
• № 48-устно.
• № 48.4-письм.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале (a; b) функции f(x) называют любую ее первообразную функцию.

Где С – произвольная постоянная ( const) .

Примеры

F(x)

F(x)

f(x)

ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ

f(x)

f(x)

F(x)

F(x)

Три правила нахождения первообразных

1 º Если F ( x ) есть первообразная для f(x) , а G(x) –

первообразная для g(x) , то F(x) + G(x) есть

первообразная для f(x) + g(x) .

2º Если F(x) есть первообразная для f(x) , а k –

постоянная, то функция kF(x) есть первообразная

для kf .

3º Если F(x) есть первообразная для f(x) , а k и b –

постоянные, причем k ≠ 0 , то функция F(kx + b )

есть первообразная для f(kx + b) .

1

k

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПЕРВООБРАЗНОЙ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

– формула Ньютона-Лейбница .

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, образованной линиями:

сверху ограниченной кривой у = f(x) , 

и прямыми у = 0 ; х = а ; х = b .

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

y = f(x)

x = a

x = b

ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ

y

D

C

A

B

x

0

b

a

y = 0

y = f(x)

x = a

x = b

ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ (1)

y

B

A

y = 0

x

a

b

0

C

D

y = f(x)

y = g(x)

Площадь криволинейной трапеции (2)

y

D

C

P

M

0

B

A

x

b

a

y = f(x)

y = g(x)

Площадь криволинейной трапеции (3)

y

C

D

B

A

0

x

b

a

P

M

y = x 2

y = x + 2

ПРИМЕР 1:

вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями y = x 2 , y = x + 2.

y

C

2

B

A

D

O

x

-1

2

Площадь криволинейной трапеции ( 4 )

y = f(x)

y = g(x)

y

D

Е

B

C

a

A

0

с

x

b

y = (x – 2 ) 2

y = 2 √ 8 – x

вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями

y = ( x – 2) 2 , y = 2 √ 8 – x , х = 2, х = 8, у = 0

Пример 2:

y

4

D

B

C

A

4

0

x

8

2

Пример 2:

вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями

y = ( x – 2) 2 , y = 2 √ 8 – x , х = 2, х = 8, у = 0