Учебный элемент по математике "Правила отыскания первообразных"

Изучив данный учебный элемент, Вы узнаете:

Правила отыскания первообразных.

Оборудование, материалы и вспомогательные средства:

персональный компьютер;

мультимедиа проектор;

презентация урока;

Сопутствующие учебные элементы и пособия:

1. Учебник «А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 классы»

2. Задачник «А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 классы»

При отыскании первообразных, как и при отыскании произ­водных, используются не только формулы , но и некоторые правила. Они непосредственно свя­заны с соответствующими правилами вычисления производных.

Мы знаем, что производная суммы равна сумме производ­ных. Это правило порождает соответствующее правило отыска­ния первообразных.

Запись в тетрадь:

Правило 1.   Первообразная   суммы   равна   сумме   первообразных.

Обращаем ваше внимание на некоторую «легковерность» этой формулировки. На самом деле следовало бы сформулиро­вать теорему: если функции у = f (х) и у=g(х) имеют на проме­жутке X первообразные, соответственно, у = F(х) и у=G(х), то и сумма функций у = f (х) + g (х) имеет на промежутке X первообразную, причем этой первообразной является функция у= F(х) + G(х). Но обычно, формулируя правила (а не теоремы), оставляют только ключевые слова — так удобнее для примене­ния правила на практике.

Пример 1. Найти первообразную для функции y=2x+cosx.

Решение. Первообразной для 2х служит х²;  первообразной для cosx служит sinx. Значит, первообразной для функции y=2x+cosx будет служить функция y=x²+sinx  (и вообще
любая функция вида y=x²+sinx  + С.

Мы  знаем,  что постоянный  множитель можно вынести  за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.

Решите примеры: №48.7(б,г),№48.8(г)

(самостоятельно) Проверь себя!!!!!!

Запись в тетрадь:

Правило 2.    Постоянный  множитель  можно  вынести знак первообразной.

Пример 2. Найти первообразные для заданных функций:

а) y=5sinx

Решение: а) Первообразной для sinx служит - cosx ; зна­чит, для функции y=5sinx первообразной будет функция y=-5 cosx.

Замечание. Как известно, производная произведения не равна произведению производных (правило дифференцирования произведения более сложное) и производная частного не равна частному от производ­ных. Поэтому нет и правил для отыскания первообразной от произведе­ния или первообразной от частного двух функций. Будьте внимательны!

Получим еще одно правило отыскания первообразных. Мы знаем, что производная функции y=f(kx+m) вычисляется по формуле

(f(kx+m)) ' = kf '  (kx+m)

Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.

Запись в тетрадь:

Правило 3.   Если  у = F(х)   —   первообразная для функции у = f(х), то первообразной для функции служит y=f(kx+m) служит функция y=1/k F(kx+m).

Весь материал - смотрите документ.

Учебный элемент

Тема: «Правила отыскания первообразных.»

- 5

Цели:

Изучив данный учебный элемент, Вы узнаете:

• Правила отыскания первообразных.

Оборудование, материалы и вспомогательные средства:

1. персональный компьютер;

2. мультимедиа проектор;

3. презентация урока;

Сопутствующие учебные элементы и пособия:

1.Учебник «А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 классы»

2.Задачник «А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 классы»

При отыскании первообразных, как и при отыскании произ­водных, используются не только формулы , но и некоторые правила. Они непосредственно свя­заны с соответствующими правилами вычисления производных.

Мы знаем, что производная суммы равна сумме производ­ных. Это правило порождает соответствующее правило отыска­ния первообразных.

Запись в тетрадь:

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Обращаем ваше внимание на некоторую «легковерность» этой формулировки. На самом деле следовало бы сформулиро­вать теорему: если функции у = f (х) и у=g(х) имеют на проме­жутке X первообразные, соответственно, у = F(х) и у=G(х), то и сумма функций у = f (х) + g (х) имеет на промежутке X первообразную, причем этой первообразной является функция у= F(х) + G(х). Но обычно, формулируя правила (а не теоремы), оставляют только ключевые слова — так удобнее для примене­ния правила на практике.

Пример 1. Найти первообразную для функции y=2x+cosx.

Решение. Первообразной для 2х служит х²; первообразной для cosx служит sinx. Значит, первообразной для функции y=2x+cosx будет служить функция y=x²+sinx (и вообще
любая функция вида y=x²+sinx + С.

Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.

Решите примеры:

№48.7(б,г),№48.8(г)

(самостоятельно)

Проверь себя!!!!!!

№48.7(б,г)

№48.8(г)

Запись в тетрадь:

Правило 2. Постоянный множитель можно вынести знак первообразной.

Пример 2. Найти первообразные для заданных функций:

а)y=5sinx

Решение: а) Первообразной для sinx служит - cosx ; зна­чит, для функции y=5sinx первообразной будет функция y=-5 cosx.

б)

Решение: б)Первообразной для cosx служит sinx ; значит, для функ­ции первообразной будет функция .

в) y=12x³+8x-1

Решение: в)Первообразной для х³ служит ; первообразной для х служит ; первообразной для функции у = 1 служит функция у = х. Используя первое и второе правила отыскания первооб­разных, получим, что первообразной для функции

y=12x³+8x-1 служит функция y=12+8- х , т.е. у=3х+4х²-х

Замечание. Как известно, производная произведения не равна произведению производных (правило дифференцирования произведения более сложное) и производная частного не равна частному от производ­ных. Поэтому нет и правил для отыскания первообразной от произведе­ния или первообразной от частного двух функций. Будьте внимательны!

Получим еще одно правило отыскания первообразных. Мы знаем, что производная функции y=f(kx+m) вычисляется по формуле

(f(kx+m)) ' = kf ' (kx+m)

Это правило порождает соответствующее правило отыскания первообразных.

Запись в тетрадь:

Правило 3. Если у = F(х) — первообразная для функции у = f(х), то первообразной для функции

служит y=f(kx+m) служит функция y=(kx+m).

В самом деле,

((kx+m))'= f(kx+m).

Это и означает, что y=(kx+m) является первообразной для функции y=f(kx+m).

Смысл третьего правила заключается в следующем. Если вы знаете, что первообразной для f(х) является F(х), а вам нужно найти первообразную для f(kx+m) , то действуйте так: берите ту же самую функцию F, но вместо аргумента х подставьте вы­ражение kx+m; кроме того, не забудьте перед знаком функции

записать «поправочный множитель» .

Пример 3. Найти первообразные для заданных функций:
а)y=sin2x;

Решение:а) Первообразной для sinх служит -соsх; зна­чит, для функции y=sin2x первообразной будет функция

,т.е.

б)

Решение: б)Первообразной для соsх служит sinх ; значит, для функ­ции первообразной будет функция ; здесь, значит, = 3.

в)

Решение: в) Первообразной для х⁷ служит ; значит, для функции первообразной будет функция , т.е. .

Решите примеры:

№48.9

(самостоятельно)

Проверь себя!!!!!!

Пример 4. Для данной функции найдите ту первообразную , график которой проходит через заданную точку М :

Решение: Первообразная для функции, F(х)=2sinx+C, при прохождении через точку

F()=-2+C=1, C=3. Первообразная для функции будет F(х)=2sinx+3.

Решите примеры:

№48.12

(самостоятельно)

Проверь себя!!!!!!

Домашнее задание: выучить правила отыскания первообразных.

Решите задачу: Найдите ту первообразную для заданной функции у=2х+3 , график которой касается

оси х.

Липецкий политехнический техникум

Клещина Н.В.