Учебный элемент по математике "Первообразная функции"

Цели:

Изучив данный учебный элемент, Вы узнаете:

Определение первообразной функции.

Формулы для отыскания первообразных.

Оборудование, материалы и вспомогательные средства:

персональный компьютер;

мультимедиа проектор;

презентация урока;

Сопутствующие учебные элементы и пособия:

1.Учебник «А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 классы»

2.Задачник «А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 классы»

Производная имеет мно­гочисленные применения: производная — это скорость движе­ния (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); про­изводная — это угловой коэффициент касательной к графику функции. Но в реальной жизни приходится решать и обратные задачи: например, наряду с задачей об отыскании скорости по известно­му закону движения встречается и задача о восстановлении за­кона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из та­ких задач.

Задача . По прямой движется материальная точка, ско­рость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения.

Запись в тетрадь:

Процесс оты­скания производной по заданной функции называют дифферен­цированием, а обратную операцию, т. е. процесс отыскания функции по заданной производной — интегрированием.

Весь материал - смотрите документ.

Учебный элемент

Тема: «Первообразная функции.»

- 4

Цели:

Изучив данный учебный элемент, Вы узнаете:

• Определение первообразной функции.

• Формулы для отыскания первообразных.

Оборудование, материалы и вспомогательные средства:

1. персональный компьютер;

2. мультимедиа проектор;

3. презентация урока;

Сопутствующие учебные элементы и пособия:

1.Учебник «А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 классы»

2.Задачник «А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 классы»

Производная имеет мно­гочисленные применения: производная — это скорость движе­ния (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); про­изводная — это угловой коэффициент касательной к графику функции. Но в реальной жизни приходится решать и обратные задачи: например, наряду с задачей об отыскании скорости по известно­му закону движения встречается и задача о восстановлении за­кона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из та­ких задач.

Задача . По прямой движется материальная точка, ско­рость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения.

Решение. Пусть s=(t)— искомый закон движения. Известно, что s'(t)=v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s=s(t), производная которой равна gt . Нетрудно догадаться, что s(t)=. В самом деле, s'(t)= ()' = (t²)' =· 2t = gt .

Ответ: s=

Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы по­лучили, что : s= . На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида : s= + С, где С — про­извольная константа, может служить законом движения, по-скольку

( + С) '=()' + С '= gt +0 = gt.

Запись в тетрадь:

Процесс оты­скания производной по заданной функции называют дифферен­цированием, а обратную операцию, т. е. процесс отыскания функции по заданной производной — интегрированием.

Сам термин «производная» можно обосновать «по-житей­ски»: функция y=f(х) «производит на свет» новую функцию y'=f '(х) . Функция y=f(х) выступает как бы в качестве «роди­теля», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции y'=f'(х) , первичный образ, или первообразная.

Запись в тетрадь:

Определение: Функцию y=F(x) называют первообразной для функции y=f(х) на заданном промежутке Х , если всех х из X выполняется равенство F ' (x)= f(х).

На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функ­ции).

Приведем примеры.

1)Функция у = х² является первообразной для функции у=2х, поскольку для всех х справедливо равенство (х²)' = 2х.

2)Функция у = х³ является первообразной для функции у=Зх2, поскольку для всех х справедливо равенство (х³)' = Зх².

3)Функция у = sinх является первообразной для функции у = соsх, поскольку для всех х справедливо равенство (sinх) ' = соsх.

Запись в тетрадь:

Решите примеры:

№ 48.2 (самостоятельно)

Проверь себя!!!!!!!!!

Вообще, зная формулы для отыскания производных, нетруд­но составить таблицу формул для отыскания первообразных.

Запись в тетрадь:

Решите примеры:

№ 48.5 (а,б)

№ 48.6 (а,б)

№ 48.7 (а,в)

№ 48.1 (а,б,в)

(самостоятельно)

Проверь себя!!!!!!

Домашнее задание: выучить определение и формулы для отыскания первообразных.

Решите задачу: Точка движется по координатной прямой, ее скорость задана формулой v=1+2t, t- время движения. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени t=2 координата точки равнялась числу 5.

Липецкий политехнический техникум

Клещина Н.В.