Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов

Цели урока:

Продолжить изучение метода неопределенных коэффициентов;

рассмотреть решение задач с помощью метода неоределенных коэффициентов.

Домашнее задание

1) . Является ли разность

целым числом.

2). Докажите, что многочлен х 3 + 5 не делится на приведенный квадратный трехчлен с целыми коэффициентами.

Решение :

Так как,

, то

Тогда

Положим ,

где a и b – неизвестные коэффициенты, откуда

Из второго уравнения , тогда

первое уравнение принимает вид

b 2 = – 12,5 – не удовлетворяет условию задачи, или b 2 = 9, откуда b = –3 или b = 3 – не удовлетворяет числу . Значит, а = 5 .

Поэтому ,

так как

Аналогично,

Окончательно получаем:

– иррациональное число.

Ответ: нет.

2). Докажите, что многочлен х 3 + 5 не делится на приведенный квадратный трехчлен с целыми коэффициентами.

Решение:

Пусть , где т и п – целые. Имеем тождество:

Откуда

Так как a = – n , то п = т 2 . Подставив эти значения а и п в последнее уравнение системы, получаем равенство т 3 = – 5, которое ни при каком целом т верным быть не может.

Избавление от иррациональности

в знаменателе дроби

Пример 1.

Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение:

Отсюда

Раскроем скобки, сгруппируем:

Ответ:

Пример 2.

Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение:

Итак,

Следовательно,

Ответ:

Применение

Метода неопределенных коэффициентов

при решении уравнений

Пример 3.

Решим уравнение

х 4 + х 3 – 4 х 2 – 9 х – 3 = 0.

Решение: Предположим, что корни уравнения – целые числа, тогда их надо искать среди чисел

  Если х = 1, то ;

если х = –1, то ;

если х = 3, то ;

если х = –3, то

Отсюда делаем вывод, что рациональных корней наше уравнение не имеет.

Попробуем разложить многочлен

f ( x ) = х 4 + х 3 – 4 х 2 – 9 х – 3

на множители в следующем виде:

, где a, b, c и d – целые. Раскроем скобки:

Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:

Так как bd = –3, то будем искать решения среди вариантов:

Проверим вариант № 2, когда b = – 1; d = 3:

а = –2, с =3.

или

– корней нет.

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение: х 4 – 15х 2 + 12х + 5 = 0.

Решение: Разложим многочлен f(х) = х 4 – 15х 2 + 12х + 5 на множители в следующем виде:

.

где a, b, c и d – целые. Раскроем скобки:

Приравнивая соответствующие коэффициенты выражений для неизвестных a, b, c и d получаем систему уравнений:

Так как , bd = 5, то будем искать решения среди вариантов:

C истеме удовлетворяет вариант №2, т.е.

а = 3, b = –1, c = –3, d = 5.

Итак,

или

Ответ:

О решении одного класса кубических уравнений.

Пусть дано кубическое уравнение:

а 1 х 3 + b 1 х 2 +с 1 х + d 1 = 0, где а ≠ 0. 

Приведём его к виду х 3 + ах 2 +bх + с = 0 (1), где

Положим в уравнении (1) х = у + m. Тогда получим уравнение:

Раскроем скобки, сгруппируем: 

y 3 + 3у 2 m + 3ym 2 + m 3 + ay 2 + 2aym + am 2 + by + bm + с = 0,

y 3 + y 2 (a +3m) +y(3m 2 +2am +b) + m 3 +am 2 +bm + с = 0.

.

Для того, чтобы уравнение (1) было двучленным, должно выполняться условие:

Решения этой системы:

Таким образом, при произвольном с и при a 2 = 3b уравнение подстановкой

можно привести к двучленному уравнению третьей степени.

Пример5. Решить уравнение:

х 3 + 3х 2 + 3х – 9 = 0.

Решение: В данном уравнении а = 3, b = 3, тогда

условие a 2 = 3b выполняется, а

Выполним подстановку х = у –1.

(у –1) 3 +3(у –1) 2 +3(у –1) – 9 = 0. y 3 – 3y 2 + 3у –1 + 3у 2 – 6у + 3 + 3у – 3 – 9 = 0. y 3 – 10 = 0,

откуда

Ответ :

Самостоятельно решите уравнение

х 3 + 6х 2 + 12х + 5 = 0.

Русский язык

Буквенное выражение

Казахский язык

Английский язык

Әріпті өрнек

Двучлен

Literal expression

Екімүше

Действительные числа

Дискриминант

Binomial

Нақты сандар

Дискриминант

Real numbers

Знаменатель

Иррациональные числа

Бөлім

Discriminant

Denominator

Иррационал сандар

Квадратное уравнение

Irrational numbers

Квадрат теңдеу

Множество решений

Метод неопределенных коэффициентов

Шешімдер жиыны

Quadratic equation

Белгісіз коэффициенттер әдісі

Solution set

Освобождение от иррациональностей

Method of undetermined coefficients

Иррационалдықтан құтылу

Подкоренное выражение

Rationalization

Түбір астындағы өрнек

Подстановка

Решить уравнение

Radical expression

Алмастыру

Число

Теңдеуді шешу

Substitution

Solve equation

Сан

Number

Сегодня на уроке мы:

• Рассмотрели примеры, в которых надо было избавится от иррациональности в знаменателе и решили их с помощью метода неопределенных коэффициентов.

• Рассмотрели решение уравнений высших степеней с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Данный урок, Вы можете найти на сайте:

http :// moodle . nis . edu . kz

Спасибо за внимание!

Список использованной литературы

• Н.Я. Виленкин «Алгебра – 9». Москва, «Просвещение» 2007.
• Н.Я. Виленкин «Алгебра – 10». Москва, «Просвещение» 1992.
• Е.П. Нелин «Алгебра и начала математического анализа» 10 класс. Москва, «Илекса» 2011 г.
• Э.З. Шувалова, Б.Г. Агафонов, Г.И. Богатырев «Повторим математику». Москва «Высшая школа», 1974 г.
• Глейзер Г. И. История математики в школе: 7 – 8 класс. М: Просвещение, 1982.
• Глейзер Г. И. История математики в школе: 9 – 10 класс. М: Просвещение, 1983.
• Интернет ресурсы.