Решение уравнений высших степеней

Справочные сведения.

Р(х)= a_nхⁿ + а_n-1х^n-1 + а_n-2х^n-2 +…+ а1х + а0 =0, где n>2, аn ≠ 0.

1. Метод понижения степени, основывается на теореме Безу и делении многочленов Р(х) на одночлен х- α, где α – корень уравнения Р(х) = 0.

Суть метода заключена в отыскании корня многочлена Р(х), х = α и последовательного его деления на двучлен х- α.

Применяется для решения симметрических уравнений третьей и пятой степени. Уравнения называют симметрическими, если они имеют вид

ах³ + bх² + bх + a =0, a=0 (третьей степени)

ах⁵ + bх⁴ + cх³ + cх² + bх + а = 0, а ≠ 0. (пятой степени)

х = -1 корень каждого из этих уравнений.

2. Метод разложения на множители.

Используется способ группировки, теорема Безу, схема Горнера, деление «уголком», метод неопределенных коэффициентов.

3. Метод замены переменных.

Применяется для решения:

а) симметрических уравнений четвертой степени

ах⁴ + bх³ + cх² + bх + а = 0, ах⁴ + bх³ + cх² - bх + а = 0, а ≠ 0 разделить обе части уравнения на х² (х = 0 не является корнем уравнения), сгруппировать относительно коэффициентов a, b, c.

Сделать замены: y = х + 1/х, z= х – 1/х.

б) уравнений вида (х – а)(х – b)(x – c)(x – d) = A, a < b< c< d, b – a = d – c, используется замена y = х − (a +b +c+d)/4.

в) уравнений вида (х – а)(х – b)(x – c)(x – d) = Aх², ba = dc, замена y= х + ab/х.

г) уравнений вида (х – а)⁴ + (х – b)⁴ = А, замена y = х – (a +b)/2

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить уравнения методом понижения степени.

а) х³ - 4х² - х +6 = 0; г) 2х³ + 3х² +3х +2 = 0;

б) 3х³ - 7х² + 4х – 4 = 0; д) 4х⁵ + х⁴ -5х³ - 5х² + х + 4 = 0;

в) х³ - 5х² - 5х +1 = 0; е) х⁵ + 2х⁴ - 3х³ - 3х² + 2х +1 = 0.

2. Решить уравнения методом разложения на множители.

а) х³ + х² - 4х – 4 = 0; д) х³ - 3х² - 6х + 8 = 0;

б) 2х⁴ +3х³ + 16х +24 = 0; е) 28х³ +3х² + 3х +1 = 0;

в) х³ + 3х² - 6х - 8 = 0; ж) х⁴ - 4х³ - 10х² + 37х -14 = 0;

г) 8х³ - 6х² + 3х - 1 = 0;

3. Решить методом замены переменной.

1) а) х⁴ - 7х³ + 14х² - 7х +1 = 0;

б) 2х⁴ + х³ - 11х² + х + 2 = 0;

в) 2х⁴ - 9х³ + 13х² - 9х + 2 = 0;

г) 2х⁴ -5х³ + 6х² - 5х +2 = 0;

Весь материал - в документе.