Решение уравнений

Цели заседания:

Теперь переходим к решению уравнений III степени (кубическим уравнениям)

Приводятся исторические сведения и способы решения уравнения.

Какой план практического решения уравнения З степени

1) Найти делители свободного члена. Проверить есть ли среди них корни
2) Если корень а найден, делить многочлен на (х-а), понижать его степень
3) Если целых корней нет, можно попробовать методом неопределенных. коэффициентов.

4) Не забывать об основных приемах решения :

а) разложить на множители левую часть уравнения

б) ввести  новую переменную

Дальше в архиве примеры кубических уравнений.

Для решения уравнений 4 степени важно знать два красивых искусственных приема

для решения биквадратного уравнения

для решения возвратного уравнения

Решение некоторых уравнений может оказаться достаточно простым, если при их решении воспользоваться свойством монотонности функции:

x⁵ +3х - 4=0

х=1

Перед вами список уравнений. Проанализировать, указать способ решения.

27х³+9х²-48х+20=0

у³+.у²-16у+20=0

x³+8=3х|х+2|

Литература

1. М.Л. Галицкий и др. “Сборник задач по алгебре для 8 – 9 кл.” М.: Просвещение, 1995 г.

2. Л.М. Поповок “1000 проблемных задач по математике”. М.: Просвещение, 1995 г.

3. Л.Ф. Пичурин “За страницами учебника алгебры”. М.: Просвещение, 1995 г.

4. Н.Я. Виленкин и др. “За страницами учебника математики”. М.: Просвещение, 1996 г.

Заседание математического клуба

Учитель математики МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №58»г. Брянска Гуленкова Татьяна Александровна

Тема заседания: «Решение уравнений»

Цели заседания:

• повторить алгоритм решения линейных и квадратных уравнений;

• познакомить учащихся с решением уравнений 3 степени;

• способствовать развитию навыка решения уравнений высших степеней.

• развивать индивидуальные способности учащихся, исследовательскую культуру.

Начинаем заседание математического клуба. Сегодня в нем участвуют учащиеся 10 класса, 9 класса и наши гости - пятиклассники.

Алгебра держится на 4х китах: уравнение, число, тождество, функция. Отделить одного от другого невозможно - они «плавают» вместе. Но все же сегодня мы присмотримся к первому киту алгебры - уравнениям.

Уравнения решают с незапамятных времен, древние ученые владели приемами решения задач с неизвестными величинами. Сочинение Аль-Хорезми, жившем в IX веке, стало отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Знакомство школьников с уравнениями происходит тоже достаточно рано, еще в начальной школе. Вы, члены нашего клуба, будучи 5-классниками, как и наши гости, умели отвечать на вопросы: «Что такое уравнение?», «Что значит решить уравнение?». Слушаем ответы пятиклассников.

Мир уравнений велик, их можно классифицировать по разным признакам, но ответы на заданные вопросы принципиально не отличаются, говорим ли мы о рациональном уравнении, показательном или тригонометрическом. То, что заложено в 5 классе, работает и в 10.

Несмотря на то, что пятиклассники уже решают уравнения, составляют их по тексту задачи, они все-таки многие задачи решают арифметическим способом.

Возьмем, например, классическую задачу о кроликах и фазанах (при подготовке к олимпиадам мы решали их в разных интерпретациях)

Пусть в клетке 15 животных (кролики и фазаны), а лапок у них 42. Сколько кроликов и сколько фазанов в клетке?

Решение:

15*2=30 (лапок) было бы, если все 15 животных – фазаны.

42-30=12(лапок) не достает, а добавить 2 лапки можно, заменив фазана- на кролика.

12:2=6(замен) нужно сделать, а значит в клетке 6 кроликов.

15-6=9(фазанов)

А как решили бы эту задачу те, кто не первый год изучает алгебру?

Пусть в клетке х кроликов и (15-х) фазанов, тогда 4х лапок у кроликов и 2(15-х) лапок у фазанов. Т.к. всего лапок 42, то 4х +2(15-х), 2х=12, х = 6, 15-х = 9.

Можно ввести 2 переменные и составить систему двух уравнений.

Чем труден язык арифметического решения?

Надо все время помнить условие, помнить, как связаны, входящие в условие числа. Все время понимать смысл выполняемых вычислений.

А при алгебраическом решении? Труднее всего составить уравнение (для этого надо хорошо понять условие и суметь записать его в виде равенства выражений, содержащих буквы), но зато потом надо не столько думать, сколько выполнять алгоритм.

Конечно, нужно основательно поработать, чтобы понять и выучить этот алгоритм.

Дадим задание 5-классникам и подумаем, алгоритмы решения каких уравнений вам уже известны из школьных уроков? Повторим их (значение этих алгоритмов поможет и при решении более сложных уравнений).

Самым первым был алгоритм решения линейного уравнения ах + в = 0. Повторяем его.

Линейные уравнения - самые простые из тех, что мы решаем.

Но надо помнить, что главной задачей в решении любого уравнения, является сведение его к простейшим, поэтому их надо решать без ошибок. Да и линейное уравнение можно усложнить, если ввести в него модуль, параметр.

Решим:

1) |9-4х| = 1

9-4x=1 9-4x=-1

-4x=-8 -4x=-10

x=2 x=2.5

Ответ:2,2.5

2)|x+4|+|x-3|=7

x=-4 x=3

1. x

-x-4-x+3=7

-2x-1=7

-2x=8

x=-4 не удовлетворяет условию x

2.-4≤x≤3

x+4+3-x=7

7=7 x Є [-4;3]

3.x+4+x-3=7

2x=6

x=3 не удовлетворяет условию x3

Ответ [-4;3]

3)

a(a+1)x=a+1

1.если a≠0 и a≠-1 то

2.если a=0 то x=1 корней нет

3.если a=-1 то x=0 x-любое число

Алгоритм решения квадратного уравнения

1)а+ вх + с = 0
Д=-4ас

2)в=2к
=-ас

3)

4)если а+в+с=0, то

5)если а+с=в, то

6) Как решить неполное уравнение?

Решаем устно:

1)х²+9х+20=0 -4 и-5

2)-17у+30=0 15 и 2

3)х²-х-12=0 4 и-3

4)x²+x-30=0 -6 и 5

5)х²-21х+20=0 1 и 20

Каким свойством обладают уравнения:

1)х² +1999х - 2000=0 1 и -2000

2)2-Зх+1=0 1и

3)127х²+123х-250=0 1 и

А уравнения :

1)7х²+х-6=0 -1и

2)2х²+Зх+1=0 -1и -

3)x² +2006х+2005=0 -1 и -2005

Как ни много способов решения квадратных уравнений, а открыть что-то новое можно и здесь.

Расскажем еще об одном способе решения квадратных уравнений:

aх²+вх+с=0

умножим на а обе части уравнения:

(ах)² +в(ах)+са=0

(ах)=у

y²+ву+са=0

1)2х²-5х+3=0

y₁ =2 у₂=3

x₁=1

2)2х²-7х+6=0

3) 6х²+х-15=0

4)12х²+13х+3=0
+13у+36=0

5)Зх²-11х+6=0

Решим квадратное уравнение с параметром из олимпиады:

x²+2х-3|х+1|+3=0

1. если х -1 х² +2х-3(х+1)+3=0

x² +2х-3х-3+3=0

x² - х=0

х=0 или х=1

2. если х² +2х-3(-х-1)+3=0

x² +2х+3х+3+3=0

x²+5х+6=0

Теперь переходим к решению уравнений III степени (кубическим уравнениям)

Исторически сложилось так, что для математиков, уже умевших решать линейные и квадратные уравнения, самым желанным было научиться решать уравнения III степени, это желание понятно, ведь З степень(куб), это объемы :их надо уметь вычислять, решать задачу обратную.

Первым, кто в своих математических трудах описал все возможные виды уравнений III степени и рассмотрел их геометрический способ решения был Омар Хайям - замечательный таджикский поэт и ученый(1048-1123). Тогда еще не знали отрицательных чисел и не пользовались буквенной символикой.

Со времен Омара Хайяма ученые средневековья почти 400 лет искали формулу для решения уравнения З степени. Были периоды, когда казалось, что сил человеческого ума для решения этой задачи недостаточно. Испанская инквизиция в 15 веке считала. Что волей бога решение5 таких уравнений изъято из возможностей человеческого разума. Узнав, что кто-то сумел решить уравнение З и 4 степени, тех бросали в тюрьму, а затем на костер «За борьбу с божественной волей». Однако ни трагическая судьба одних, ни неудачи других не могут остановить прогресса. В 16 веке способ решения уравнений З степени был открыт.

История его открытия напоминает приключенческий роман, очень характерный для того бурного времени - времени Николая Коперника, Джордано Бруно, Шекспира, Тициана, Рафаэля, Леонардо-да-Винчи.

Сделал это открытие итальянец Джероламо Кардано.

Он решил уравнение x³+px+q=0

Но формулу Кардано нельзя применять без учета некоторых дополнительных условий и ограничений. Для уравнения х³+15х+124=0 р=15; q=124

Но если найти хотя бы один корень уравнения, то можно понизить степень

уравнения

И здесь на помощь приходит теорема Безу

Т.1

a – корень P(x), то P(x)=(x-a)(x)

Верна обратная теорема.

Для того чтобы многочлен делился без остатка на (х-а) необходимо и достаточно, чтобы число а было корнем многочлена

Т.2

Если уравнение имеет целые коэффициенты,

причем а≠0 то целыми корнями такого уравнения могут быть только делители свободного члена.

Какой план практического решения уравнения З степени

1)Найти делители свободного члена. Проверить есть ли среди них корни 2)Если корень а найден, делить многочлен на (х-а), понижать его степень 3)Если целых корней нет, можно попробовать методом неопределенных. коэффициентов.

4)Не забывать об основных приемах решения :

а)разложить на множители левую часть уравнения

б)ввести новую переменную

Пример 1.

2х³-9х²+10х-3=0 Делители свободного члена ±1 ±3

х=1: 2-9+10-3=0, 1-корень

Ответ:1;3;0.5

Пример 2.

Х³-7х-6=0

Делители свободного члена ±1,±2,±3,±6

х=1: 1-7-6≠0

х=-1: -1 +7-6=0 -1 –корень

(х+1)(х²-х-6)=0

х=-1 х²-х-6=0

Ответ:-1;-2;3

Для решения уравнений 4 степени важно знать два красивых искусственных приема

для решения биквадратного уравнения

для решения возвратного уравнения

Решение некоторых уравнений может оказаться достаточно простым, если при их решении воспользоваться свойством монотонности функции:

x⁵ +3х - 4=0

х=1

Перед вами список уравнений. Проанализировать, указать способ решения.

27х³+9х²-48х+20=0

+.у²-16у+20=0

x³+8=Зх|х+2|

Литература

1. М.Л. Галицкий и др. “Сборник задач по алгебре для 8 – 9 кл.” М.: Просвещение, 1995 г.

2. Л.М. Поповок “1000 проблемных задач по математике”. М.: Просвещение, 1995 г.

3. Л.Ф. Пичурин “За страницами учебника алгебры”. М.: Просвещение, 1995 г.

4. Н.Я. Виленкин и др. “За страницами учебника математики”. М.: Просвещение, 1996 г.