Методы решения тригонометрических уравнений

Цели урока:

Образовательные:

• Познакомить обучающихся с нестандартными методами решения тригонометрических уравнений.
• Научиться решать тригонометрические уравнения различными методами.

Развивающие:

• Развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

             Воспитательные:

• Привитие интереса к математике.
• Активность, мобильность, умение общаться.

Тип урока: Комбинированный.

Оборудование: ноутбук, проектор, экран, презентация, карточки для самостоятельной работы,  лист самооценки.

План

1. Организационный момент.
   1. Приветствие.
   2. Тема урока:
   3. Цель урока:
2. Мотивация учебной деятельности. (Презентация) (Слайд 3-6)

«Тригонометрия” происходит от греческого слова τριγουο треугольник и греческого μετρειν измерять, т.е. означает измерение треугольников. Тригонометрия - это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии.

- Одной из наиболее важных тем тригонометрии является решение тригонометрических уравнений, с которыми мы познакомились в этом учебном году. Эта тема очень актуальна и важна, т.к. входит в вопросы переводного экзамена в 10 кл. и широко представлена на ЕГЭ в 11 кл.

3. Актуализация опорных знаний  (Слайд 7-12)

(Получают листы самооценки)

1. Для успешного усвоения новой темы вы должны уметь  решать простейшие тригонометрические уравнения  вида: cos t = а, а≤1; sin t = а, а≤1, tg t = а,

ctg t = а

Назовите формулы корней для уравнения вида cos t = а , а≤1

Назовите формулы корней для уравнения вида sin t = а, а≤1

Назовите формулы корней для уравнения вида  tg t = а

Назовите формулы корней для уравнения вида ctg t = а

3.  Для успешного решения сложных тригонометрических уравнений необходимо знать  алгоритм решения квадратного уравнения. и теорему Виета.

4. Изучение нового материала. (Слайд 13-18)

Сегодня на уроке мы рассмотрим основные методы решения сложных тригонометрических уравнений.

1. Метод приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

 cos(3x – π/4) = -√2/2.

 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Сформулируйте алгоритм решения уравнений методом приведения к простейшим тригонометрическим уравнениям:

1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.

2. Найти аргумент функции по формулам:

3. Найти неизвестную переменную.

2. Метод введения новой переменной.

Пример.

2 cos ² x – cos x – 1 = 0

Решение:

t =cos x

2t² – t -1 = 0

D = 9

t_{1 =    1}                                                  t_{2 = 1/2}

_{cos x = 1                                               cos x = 1/2}

Ответ: x=   2πn, n Є Z               x=π/3 +2πn,, n Є Z.

Cформулируйте алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.

1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.

2. Обозначить полученную функцию переменной t .

3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

4. Сделать обратную замену.

5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

3. Метод понижения порядка уравнения.

Формулы понижения степени:

sin² x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos² x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg² x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Пример.

cos 2x + cos² x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 · cos 2x = 3/4;

cos 2x = 1/2;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;    

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Ответ:  x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Сформулируйте алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.

1. Заменить данное уравнение линейным, используя для этого формулы понижения степени:

2. Решить полученное уравнение с помощью методов I и II.

4. Приведение уравнения к виду  tg x =a

Однородные уравнения.

Пример.

5sin² x + 3sin x · cos x – 4 = 0.

Решение.

1) 5sin² x + 3sin x · cos x – 4(sin² x + cos² x) = 0;

5sin² x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos² x = 0;

sin² x + 3sin x · cos x – 4cos² x = 0/cos² x ≠ 0.

2) tg² x + 3tg x – 4 = 0.

3) Пусть tg x = t, тогда

t² + 3t – 4 = 0;

t = 1 или t = -4, значит

tg x = 1 или tg x = -4.

Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Ответ:  x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Сформулируйте алгоритм решения уравнений методом приведения к виду

tg x =a

1. Привести данное уравнение к виду

a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)

или к виду

б) a sin² x + b sin x · cos x + c cos² x = 0 (однородное уравнение второй степени).

 2. Разделить обе части уравнения на

а) cos x ≠ 0;

б) cos² x ≠ 0;

и получить уравнение относительно tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg² x + b tg x + c = 0.

 3. Решить уравнение известными способами.

  5. Разложение на множители.    

Алгоритм решения:

 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV.

 2. Решить полученное уравнение известными методами.

Пример.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n Є Z; из второго уравнения cos x = -1/2.

Имеем х = π/4 + πn/2, n Є Z; из второго уравнения x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В итоге х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ответ:  х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

V. Домашнее задание.

Самостоятельная работа  (находится в архиве)

Хотулева Анна Сергеевна

Муниципальное казенное учреждение

«Зареченская средняя общеобразовательная школа»

Тема: Методы решения тригонометрических уравнений (слайд 1)

Класс: 10 класс

Цели урока: (слайд2)

Образовательные:

• Познакомить обучающихся с нестандартными методами решения тригонометрических уравнений.

• Научиться решать тригонометрические уравнения различными методами.

Развивающие:

• Развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные:

• Привитие интереса к математике.

• Активность, мобильность, умение общаться.

Тип урока: Комбинированный.

Оборудование: ноутбук, проектор, экран, презентация, карточки для самостоятельной работы, лист самооценки.

План

1. Организационный момент.

   1. Приветствие.

   2. Тема урока:

   3. Цель урока:

2. Мотивация учебной деятельности. (Презентация) (Слайд 3-6)

«Тригонометрия” происходит от греческого слова τριγουο треугольник и греческого μετρειν измерять, т.е. означает измерение треугольников. Тригонометрия - это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии.

- Одной из наиболее важных тем тригонометрии является решение тригонометрических уравнений, с которыми мы познакомились в этом учебном году. Эта тема очень актуальна и важна, т.к. входит в вопросы переводного экзамена в 10 кл. и широко представлена на ЕГЭ в 11 кл.

1. Актуализация опорных знаний (Слайд 7-12)

(Получают листы самооценки)

1. Для успешного усвоения новой темы вы должны уметь решать простейшие тригонометрические уравнения вида: cos t = а, а≤1; sin t = а, а≤1, tg t = а,

ctg t = а

1. Назовите формулы корней для уравнения вида cos t = а , а≤1

2. Назовите формулы корней для уравнения вида sin t = а, а≤1

3. Назовите формулы корней для уравнения вида tg t = а

4. Назовите формулы корней для уравнения вида ctg t = а

2. Устно:

1. Имеет ли смысл выражение:

а)  б) 

в)  г)

2. Вычислите:

а) arctg 1; б)

в)  г) arccos (–1).

3. Решите простейшие тригонометрические уравнения:

а) б) в)

3. Для успешного решения сложных тригонометрических уравнений необходимо знать алгоритм решения квадратного уравнения. и теорему Виета.

1. Изучение нового материала. (Слайд 13-18)

Сегодня на уроке мы рассмотрим основные методы решения сложных тригонометрических уравнений.

1. Метод приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

 cos(3x – π/4) = -√2/2.

 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Сформулируйте алгоритм решения уравнений методом приведения к простейшим тригонометрическим уравнениям:

1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.

2. Найти аргумент функции по формулам:

3. Найти неизвестную переменную.

2. Метод введения новой переменной.

Пример.

2 cos ² x – cos x – 1 = 0

Решение:

t =cos x

2t² – t -1 = 0

D = 9

t_{1 = 1} t_{2 = 1/2}

_{cos x = 1 cos x = 1/2}

Ответ: x= 2πn, n Є Z x=π/3 +2πn,, n Є Z.

Cформулируйте алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.

1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.

2. Обозначить полученную функцию переменной t .

3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

4. Сделать обратную замену.

5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

3. Метод понижения порядка уравнения.

Формулы понижения степени:

sin² x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos² x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg² x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Пример.

cos 2x + cos² x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 · cos 2x = 3/4;

cos 2x = 1/2;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;    

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Ответ:  x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Сформулируйте алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.

1. Заменить данное уравнение линейным, используя для этого формулы понижения степени:

2. Решить полученное уравнение с помощью методов I и II.

4. Приведение уравнения к виду tg x =a

Однородные уравнения.

Пример.

5sin² x + 3sin x · cos x – 4 = 0.

Решение.

1) 5sin² x + 3sin x · cos x – 4(sin² x + cos² x) = 0;

5sin² x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos² x = 0;

sin² x + 3sin x · cos x – 4cos² x = 0/cos² x ≠ 0.

2) tg² x + 3tg x – 4 = 0.

3) Пусть tg x = t, тогда

t² + 3t – 4 = 0;

t = 1 или t = -4, значит

tg x = 1 или tg x = -4.

Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Ответ:  x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Сформулируйте алгоритм решения уравнений методом приведения к виду

tg x =a

1. Привести данное уравнение к виду

a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)

или к виду

б) a sin² x + b sin x · cos x + c cos² x = 0 (однородное уравнение второй степени).

2. Разделить обе части уравнения на

а) cos x ≠ 0;

б) cos² x ≠ 0;

и получить уравнение относительно tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg² x + b tg x + c = 0.

 3. Решить уравнение известными способами.

5. Разложение на множители.

Алгоритм решения:

1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV.

2. Решить полученное уравнение известными методами.

Пример.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n Є Z; из второго уравнения cos x = -1/2.

Имеем х = π/4 + πn/2, n Є Z; из второго уравнения x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В итоге х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ответ:  х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

V. Домашнее задание. (Слайд 19)

П. 11 № 167 (а) № 169 (а)

VI. Закрепление.

Самостоятельная работа (Слайд 20 – 21)

Вариант 1-2

Решите уравнения.

1. . 2cos² x + cos x – 1 = 0.

2 . cos x – 3sin x = 0.

3. 

Дополнительно:

1. Решить однородное уравнение второй степени.

sin² x – 4sin x cos x + 3cos² x = 0 (: на cos² x )

tg² x – 4 tg x + 3 = 0

VII. Подведение итога урока. Рефлексия. (Слайд 22 – 24)

1.Чему мы сегодня научились.

2. Самооценивание.

3. Оценки за урок.

Лист самооценки