Конспект урока по математике «Методы решения уравнений»

Цель урока:

закрепить умения решать уравнения способом замены неизвестного.

Этапы урока.

1. Оргмомент – 5 минут

2. Решение биквадратных уравнений – 7 минут

3. Презентация замены неизвестного при решении уравнений – 8 минут

4. Физкультминутка – 2 минуты

5. Работа в группах – 20 минут

6. Подведение итогов – 3 минуты

Ход урока.

1) Уравнения с давних времен волновали умы человечества. У английского поэта средних веков Чосера есть замечательные строки, которые мы возьмем эпиграфом нашего урока:

Посредством уравнений, теорем

Я уйму разрешу проблем.

Бывают разные виды уравнений. Умения решать их очень важны не только для математики, но и для других наук. А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобится нам на уроке. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

- Какие виды уравнений записаны на доске? (Линейное, квадратное, биквадратное)

- Как решить линейное уравнение? (Все слагаемые с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).

- Как решить квадратное уравнение? (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)

Ребята, сегодня мы будем решать целые и дробно-рациональные уравнения, которые входят в сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе.

При решении уравнений будем применять алгебраические преобразования, а также такой прием, как замена переменной. Ребята, приходилось ли вам применять замену неизвестного при решении уравнений?

При решении каких уравнений? (биквадратных, возвратных).

2) Если надо решить биквадратное уравнение ах⁴ + bx² + c=0, то вводим новую неизвестную, например, y=x², получаем квадратное уравнение: ay² + by + c=0. Решив это уравнение, найдем корни y₁ и y₂. Чтобы найти корни исходного уравнения, т.е. x₁ и x₂, надо решить два уравнения 1) x² = y₁ и 2) x² = y₂.

Решим биквадратное уравнение (задание на 2 балла)

x⁴ + 2x² – 8 = 0 и 2x⁴ - 19x² + 9 = 0 (Работа в группах по 4 человека)

3) Презентация замены неизвестного при решении уравнений (с помощью проектора на экране).

Пример 1.

Решим уравнение (x² + x – 1) (2x² +2x + 3) – 7(1 – x – x²) = 110 (1)

Раскрытие скобок приведет к уравнению четвертой степени, упростить решение помогает замена неизвестного. Введем новое неизвестное t = x² + x – 1, тогда 2x² +2x + 3 = 2 (x² + x – 1) +5,

1 – x – x² = - ( x² + x – 1) = -t. Поэтому уравнение (1) перепишется в виде:

t(2t + 5) + 7t = 110 или 2t² + 12t – 110 = 0

Это уравнение имеет два корня t₁ = 5, t₂ = - 11. Поэтому корнями уравнения (1) являются корни двух уравнений: 1) x² + x – 1 = 5 и 2) x² + x – 1 = - 11

Решив каждое из уравнений 1) и 2), найдем все корни уравнения (1): x₁ = -3, x₂ = 2.

Ответ. -3; 2.

Решим уравнение (x + 3) (x – 5) (x + 2) (x – 4) = 60 (2)

Раскрытие скобок приведет к уравнению четвертой степени, упростить решение помогает замена неизвестного. Но сначала в левой части уравнения умножим первый множитель на второй и третий на четвертый, потому что суммы свободных членов этих многочленов в каждой паре одинаковы: 3 + (- 5) = 2 + (-4), получим равносильное уравнение

(x² - 2x – 15) (x² - 2x – 8) = 60.

Введем новое неизвестное t = x² - 2x – 15, тогда x² - 2x - 8 =t + 7, поэтому уравнение перепишется в виде t (t + 7) = 60 или t² + 7t – 60 = 0

Это уравнение имеет два корня t₁ = 5, t₂ = - 12

Весь материал - в документе.

Конспект урока по теме «Методы решения уравнений»

Класс: 9

Время: 1 урок (45 минут)

Необходимое оборудование: доска, компьютер, проектор, раздаточные материалы

Цель урока: закрепить умения решать уравнения способом замены неизвестного.

Этапы урока

1. Оргмомент – 5 минут

2. Решение биквадратных уравнений – 7 минут

3. Презентация замены неизвестного при решении уравнений – 8 минут

4. Физкультминутка – 2 минуты

5. Работа в группах – 20 минут

6. Подведение итогов – 3 минуты

Ход урока

1) Уравнения с давних времен волновали умы человечества. У английского поэта средних веков Чосера есть замечательные строки, которые мы возьмем эпиграфом нашего урока:

Посредством уравнений, теорем
Я уйму разрешу проблем.

Бывают разные виды уравнений. Умения решать их очень важны не только для математики, но и для других наук. А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобится нам на уроке. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

- Какие виды уравнений записаны на доске? (Линейное, квадратное, биквадратное)

- Как решить линейное уравнение? (Все слагаемые с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).

- Как решить квадратное уравнение? (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)

Ребята, сегодня мы будем решать целые и дробно-рациональные уравнения, которые входят в сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. При решении уравнений будем применять алгебраические преобразования, а также такой прием, как замена переменной. Ребята, приходилось ли вам применять замену неизвестного при решении уравнений? При решении каких уравнений? (биквадратных, возвратных).

2) Если надо решить биквадратное уравнение ах⁴ + bx² + c=0, то вводим новую неизвестную, например, y=x², получаем квадратное уравнение: ay² + by + c=0. Решив это уравнение, найдем корни y₁ и y₂. Чтобы найти корни исходного уравнения, т.е. x₁ и x₂, надо решить два уравнения 1) x² = y₁ и 2) x² = y₂.

Решим биквадратное уравнение (задание на 2 балла)

x⁴ + 2x² – 8 = 0 и 2x⁴ - 19x² + 9 = 0 (Работа в группах по 4 человека)

3) Презентация замены неизвестного при решении уравнений (с помощью проектора на экране).

Пример 1.

Решим уравнение (x² + x – 1) (2x² +2x + 3) – 7(1 – x – x²) = 110 (1)

Раскрытие скобок приведет к уравнению четвертой степени, упростить решение помогает замена неизвестного. Введем новое неизвестное t = x² + x – 1, тогда 2x² +2x + 3 = 2 (x² + x – 1) +5,
1 – x – x² = - ( x² + x – 1) = -t. Поэтому уравнение (1) перепишется в виде:

t(2t + 5) + 7t = 110 или 2t² + 12t – 110 = 0

Это уравнение имеет два корня t₁ = 5, t₂ = - 11. Поэтому корнями уравнения (1) являются корни двух уравнений: 1) x² + x – 1 = 5 и 2) x² + x – 1 = - 11

Решив каждое из уравнений 1) и 2), найдем все корни уравнения (1): x₁ = -3, x₂ = 2.

Ответ. -3; 2.

Пример 2.

Решим уравнение (x + 3) (x – 5) (x + 2) (x – 4) = 60 (2)

Раскрытие скобок приведет к уравнению четвертой степени, упростить решение помогает замена неизвестного. Но сначала в левой части уравнения умножим первый множитель на второй и третий на четвертый, потому что суммы свободных членов этих многочленов в каждой паре одинаковы: 3 + (- 5) = 2 + (-4), получим равносильное уравнение

(x² - 2x – 15) (x² - 2x – 8) = 60.

Введем новое неизвестное t = x² - 2x – 15, тогда x² - 2x - 8 =t + 7, поэтому уравнение перепишется в виде t (t + 7) = 60 или t² + 7t – 60 = 0

Это уравнение имеет два корня t₁ = 5, t₂ = - 12

Поэтому корнями уравнения (2) являются корни двух уравнений:

1) x² - 2x – 15 = 5 и 2) x² - 2x – 15 = - 12

Решив каждое из уравнений 1) и 2), найдем все корни уравнения (2): x₁ = 1 - , x₂ = 1 + , x₃ = - 1, x₄ = 3.

Ответ. x₁ =1 - , x₂ = 1 + , x₃ = - 1, x₄ = 3.

4) Физкультминутка

5) А теперь перейдем к решению более сложных задач (задания на 4 балла и 6 баллов).

Двое работают у доски, остальные в группах по четыре человека.

Задания для работающих у доски:

1 задание. Решите уравнение x⁵ – 9x³ + 20x = 0. Указание: вынесите x за скобки.

2 задание. Решите уравнение (x² – 5x) (x² – 5x + 10) + 24 = 0. Указание: введите новое неизвестное x² – 5x =t.

Задания для работы в группах:

1 задание. Решите уравнение (x – 2)² (x² – 4x + 3) = 12. Указание: выражение в первых скобках возведите в квадрат.

2 задание. Решите уравнение (x² – 7x + 13)² – (x – 3) (x – 4) = 1. Указание: перемножьте выражения в скобках (x – 3) (x – 4).

3 задание. Решите уравнение (x – 2) (x – 1) (x + 2) (x + 3) = 60 Указание: перемножьте нужные скобки.

4 задание. Решите уравнение Указание: введите новое неизвестное

5 задание. Решите уравнение Указание: введите новое неизвестное

6 задание. Решите уравнение (x – 5)⁴ – 3 (x – 5)² – 4 = 0.
Указание: введите новое неизвестное (x – 5)² = t.

6) Итак, сегодня на уроке мы с вами решали уравнения, используя метод замены неизвестного. Учебно-методическая газета “Математика” выходит под девизом: “Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием”, а вот для меня большая радость, если все, чему вы научились на уроках, можете использовать на экзаменах.