Произведение одночлена и многочлена. Умножение одночлена на многочлен

ХХ век – век инновационных технологий, который требует технологизацию учебного процесса. Современная педагогика в этом плане развивается в активном, интерактивном и конструктивном направлении. При сравнении конструктивного подхода к обучению  с традиционной формой передачи знаний нетрудно заметить, что процесс построения новых знаний происходит на основании предыдущих знаний и умений. В этом процессе знания учащихся находятся в движении, они могут легко превращаться в новые знания, путем добавления одного элемента. Последовательно построенные новые знания,  интегрируясь с предыдущими и последующими знаниями, создают целостную картину действий. Интерактивная учебная деятельность учащихся  совмещенная с мыслительной деятельностью приводит к формированию оперативности мышления, результатом которого является преобразование одних знаний в новые знания.

 Термин «инновация» как вид педагогической деятельности означает внесение в учебный процесс нового (факты, метода, приемы), улучшающего действующую систему образования.

Известны имена и заслуги трех групп педагогов-новаторов, создавших методические системы и авторские школы. В начале XX века, это – М.  Монтессори, С. Френе. Д. Дьюи, Г. Кершенштейнер,  Я. Корчак, Р. Штейнер, С.Т. Шацкий, М.М. Пистрак, А.С. Макаренко и др.

В середине XX века, это – В. А. Сухомлинский, Ш.А. Амонашвили, Л.В. Занков,  В. В. Давыдов, С.Н. Лысенкова,  И. П. Иванов, Б. П. Никитин, М. П. Щетинин, А.Н. Тубельский,  И. П. Раченко и др.

В конце XX века, это – Ю.А. Конаржевский, О.С. Саметис, Г. Г. Габдуллин, И.К. Шалаев, В. Ф. Шаталов, И. П. Волков, В. К. Дьяченко, Г. Лозанов, Ф.Д. Бунятова, П. М. Эрдниев, Е. Н. Ильин и др.

 Конструктивное обучение нацелено на развитие познания, на построения учащимися своих знаний на основе имеющихся знаний и опыта. Здесь в основном делается упор не на память, а на мышление. Конструктивное обучение считается наиболее важным и актуальным из технологий обучения современного общества, т.к. в процессе обучения оно повышает мышление ученика и развивает его. Сам по себе – это стиль и создание знаний. Эта теория органически охватывает все достижения предыдущих этапов активизации учебного процесса и развития конструктивного мышления всех его участников.  Урок состоит из двух частей.

Часть I:

В этой части я работаю с классом над поставленными вопросами. Здесь моей целью является определить уровень понимания учащимися темы, расширить и углубить эти понимания новыми знаниями. Ученики же работая над выстроенными знаниями путем логической установки учителя, преобразовывают их в новые знания, более высокого уровня.

Это часть проводиться в форме активного обсуждения решаемых примеров.

Часть II:

Во второй части урока, ученики, работая в командах, применяют приобретенные знания в рабочих листах, подготовленных мною заранее.

Цель этой части укрепить умения и навыки, применение новых знаний.

После выполнения заданий на рабочих листах каждая команда выбирает лидера для презентации работ. При презентации работ я делаю установку на оценивание выполненных заданий самими командами, привлекая внимание учеников на обсуждение. После контроля и оценивания результатов работы и заданий на дом, благодарю всех за сотрудничество.

Конспект урока:

Цели:

1. Обеспечить усвоение учащимися знаний по умножению одночлена на многочлен
2. Развить познавательное умение и правильное применение этих знаний учащимися на практике
3. Работа в командах: Формирование у учащихся стремления к совершенствованию знаний, слушать друг друга, умение анализировать, логически мыслить, прийти к общему мнению.

I часть урока:

Ключевое слово: умножение.

Давайте решим следующие примеры:

-7a²b³c ∙ 4a²b⁴=…

Через минуту команды уже готовы ответить. Правильный ответ высвечивается на экране. Ответ: -7 ∙ 4 ∙(a² ∙ a²) ∙(b³ ∙b⁴) ∙c= -28a⁴b⁷c

Решим следующий пример:

-1/7x³y ∙ 4x²y³ ∙ (-21xy⁶)=…

В течении минуты команды подготавливают ответ. Затем правильный ответ появляется на экране. Ответ:  -1/7 ∙(-21)∙4∙(x³∙x²∙x)∙(y∙y³y⁶)=12x⁶y¹⁰

Сразу после решения примеров начинаем обсуждение.

Вопросы к классу:

В. Как вы решили эти примеры? Какие правила вы при этом использовали?;

О. Сначала мы умножили числовые множители, а затем степени с одинаковыми основаниями;

О. Мы использовали правило умножения одночленов;

В. Как, по-вашему, что при этом получается?;

О. При этом получается одночлен, потому что произведение одночленов есть одночлен;

О. Мы, упростив, получили стандартный вид одночлена;

В. Что значить «стандартный вид» одночлена?;

О.  Это – когда в одночлене число и  каждая переменная записаны один раз  в определенной степени;

В. Вы сказали: «мы упростили», а как? Какие законы вы при этом использовали?;

О. Переместительный закон умножения: ab = ba. Используя его, мы меняли местами сомножителей;

О. Сочетательный закон умножения: (ab)∙c=a∙(bc). Он был использован во втором примере, когда мы сочли нужным написать рядом  -1/7 ∙(-21),  чтобы потом их сократить.

Решим еще два примера.

1. (-3a³b²)³=…

Через минуту команды готовы ответить. Затем правильный ответ появляется на экране:

 (-3)³∙(a³)³∙(b²)³=-27a⁹b⁶

2. (-1/2 x³y²)⁴=…

После решения команд правильный ответ выводится на экран. Ответ:

(-1/2)⁴∙(x³)⁴∙(y²)⁴=1/16x¹²y⁸

В. Как вы нашли ответ?;

О. Мы возвели в степень сначала числовой множитель, затем каждую степень из множителей тоже возвели в степень;

В. А что в результате получился?;

О. Одночлен, потому что степень одночлена тоже одночлен;

В. Как вы считаете, что нам необходимо знать и уметь делать при решении таких примеров?;

О. Надо знать правило умножения одночленов и возведения их в степень;

О. Уметь применять эти правила при выполнении подобных примеров;

Поупражняемся еще.

Давайте применим наши знания для более сложного задания:

Возьмем одночлен -5b и умножим его на многочлен 2b⁶-4b+7.

В ходе решения команды приходят к правильному ответу.

-5b∙(2b⁶-4b+7)=-5b∙2b⁶-5b∙(-4b)+(-5b)∙7=-10b⁷+20b²-35b

Ответ готов, показываем слайд с готовым ответом.

Следующий пример:

Берем одночлен 8а² и умножаем его на многочлен 5b³+2a-3ab

Когда у команд готов правильный ответ показываем слайд с готовым ответом:

8a²∙ (5b³+2a-3ab)=8a²∙5b³+8a²∙2a-8a²∙3ab=40a²b³+16a³-24a³b

В.  Каким образом вы получили ответ?;

О. В каждом примере мы умножили одночлен, который стоял перед скобкой, на каждый член многочлена в скобке;

В.  Что у вас получилось?;

О. Сложив и упростив  эти одночлены, мы получили многочлен в стандартном виде;

В. Что же является многочленом? И что означает «Многочлен в стандартном виде»?;

О. Сумму одночленов называют многочленом;

О. Если каждый член многочлена является одночленом стандартного вида и многочлен не содержит подобных слагаемых, то говорят, что он записан в стандартном виде;

В.  Какое свойство умножения было применено?;

О. При раскрытии скобок, мы использовали распределительное свойство умножения; a(b+c)=ab+ac

В; Какие правила раскрытия скобок вы знаете?;

О. Если перед скобкой стоит знак «+», то скобки опускаются, а члены записываются с теми же знаками; a+(b+c)= a+b+c

О. Если перед скобкой стоит знак «-»,  то скобки опускаются, а члены записываются с противоположными знаками; a-(b+c)=a-b-c

Давайте, используя эти правила решим уравнение:

3(х-1)-2(3-7х)=2(х-2)

Когда предполагаемый ответ готов, показываю слайд:

3х-3-6+14х=2х-4

17х-9=2х-4

17х-2х=-4+9

15х=5

х=5/15

х=1/3

Ответ: х=1/3

И так, чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножать этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить:

а (b+c)=ab+ac

А теперь попробуйте решить уравнение:

2х²+5х=0

Через минуту предполагаемый ответ готов, показываю слайд:

Выносим за скобки общий множитель (последующая тема):

х∙(2х+5)=0

По условию равенства нулю произведения имеем:

х=0      или     2х+5=0

                        2х=5

                        х=-2,5.

Ответ: х=0;-2,5.

Таким образом, вы использовали обратное действие, то есть вынесли общий множитель за скобки и использовали при этом правило:

ab+ac=a(b+c)

II-часть урока:

«Мало иметь хороший ум, главное - уметь его применять».

Словами великого французского математика Рене Декарта начинаем работу в командах.

Каждой команде задается по 7 заданий в заранее подготовленных рабочих листах. – смотри документ.

Время идет, на экране появляется цитата великого Леонардо да Винчи «Единственным критерием истины является опыт».

Время закончилось.

Все команды готовы к обсуждению.

Помогаю прикрепить красочно оформленные листы к доске. Идет бурное обсуждение. Лидер каждой команды выступив, старается оценить работу своей команды на «5», при этом учитываются обнаруженные ошибки и т.д. Таким образом, учащиеся выступают активными субъектами процесса познания.

После контроля и оценивания результата работ и заданий на дом, хвалю и благодарю каждого.

Урок заканчиваю словами выдающегося математика М. В. Ломоносова:

«Математику только затем учить надо, что она ум в порядок приводит».

P.S.:  Как видно в этом конструктивном учебном процессе не было передачи готовых знаний. Знания были созданы учениками в процессе мыслительной деятельности,  путем логических установок и вопросов учителя, в активной дискуссии.

Урок по алгебре, 7-й класс.

Тема: «Произведение одночлена и многочлена.

Умножение одночлена на многочлен».

Автор: Мамедова Санубар Абдулрагим кызы.

шк.-лицей №267 им. Э. Гамидова г. Баку

Урок построен на основе инновативной технологии «Конструктивное обучение

Ф. Буньятовой».

Ключевые слова: конструктивное обучение; преобразование; построение; сопоставление; логические вопросы; логические обоснования

ХХ век – век инновационных технологий, который требует технологизацию учебного процесса. Современная педагогика в этом плане развивается в активном, интерактивном и конструктивном направлении. При сравнении конструктивного подхода к обучению с традиционной формой передачи знаний нетрудно заметить, что процесс построения новых знаний происходит на основании предыдущих знаний и умений. В этом процессе знания учащихся находятся в движении, они могут легко превращаться в новые знания, путем добавления одного элемента. Последовательно построенные новые знания, интегрируясь с предыдущими и последующими знаниями, создают целостную картину действий. Интерактивная учебная деятельность учащихся совмещенная с мыслительной деятельностью приводит к формированию оперативности мышления, результатом которого является преобразование одних знаний в новые знания.

Термин «инновация» как вид педагогической деятельности означает внесение в учебный процесс нового (факты, метода, приемы), улучшающего действующую систему образования.

Известны имена и заслуги трех групп педагогов-новаторов, создавших методические системы и авторские школы. В начале XX века, это – М. Монтессори, С. Френе. Д. Дьюи, Г. Кершенштейнер, Я. Корчак, Р. Штейнер, С.Т. Шацкий, М.М. Пистрак, А.С. Макаренко и др.

В середине XX века, это – В. А. Сухомлинский, Ш.А. Амонашвили, Л.В. Занков, В. В. Давыдов, С.Н. Лысенкова, И. П. Иванов, Б. П. Никитин, М. П. Щетинин, А.Н. Тубельский, И. П. Раченко и др.

В конце XX века, это – Ю.А. Конаржевский, О.С. Саметис, Г. Г. Габдуллин, И.К. Шалаев, В. Ф. Шаталов, И. П. Волков, В. К. Дьяченко, Г. Лозанов, Ф.Д. Бунятова, П. М. Эрдниев, Е. Н. Ильин и др.

Конструктивное обучение нацелено на развитие познания, на построения учащимися своих знаний на основе имеющихся знаний и опыта. Здесь в основном делается упор не на память, а на мышление. Конструктивное обучение считается наиболее важным и актуальным из технологий обучения современного общества, т.к. в процессе обучения оно повышает мышление ученика и развивает его. Сам по себе – это стиль и создание знаний. Эта теория органически охватывает все достижения предыдущих этапов активизации учебного процесса и развития конструктивного мышления всех его участников. Урок состоит из двух частей.

Часть I:

В этой части я работаю с классом над поставленными вопросами. Здесь моей целью является определить уровень понимания учащимися темы, расширить и углубить эти понимания новыми знаниями. Ученики же работая над выстроенными знаниями путем логической установки учителя, преобразовывают их в новые знания, более высокого уровня.

Это часть проводиться в форме активного обсуждения решаемых примеров.

Часть II:

Во второй части урока, ученики, работая в командах, применяют приобретенные знания в рабочих листах, подготовленных мною заранее.

Цель этой части укрепить умения и навыки, применение новых знаний.

После выполнения заданий на рабочих листах каждая команда выбирает лидера для презентации работ. При презентации работ я делаю установку на оценивание выполненных заданий самими командами, привлекая внимание учеников на обсуждение. После контроля и оценивания результатов работы и заданий на дом, благодарю всех за сотрудничество.

Конспект урока:

Цели:

1. Обеспечить усвоение учащимися знаний по умножению одночлена на многочлен

2. Развить познавательное умение и правильное применение этих знаний учащимися на практике

3. Работа в командах: Формирование у учащихся стремления к совершенствованию знаний, слушать друг друга, умение анализировать, логически мыслить, прийти к общему мнению.

I часть урока:

Ключевое слово: умножение.

Давайте решим следующие примеры:

-7a²b³c ∙ 4a²b⁴=…

Через минуту команды уже готовы ответить. Правильный ответ высвечивается на экране. Ответ: -7 ∙ 4 ∙(a² ∙ a²) ∙(b³ ∙b⁴) ∙c= -28a⁴b⁷c

Решим следующий пример:

-x³y ∙ 4x²y³ ∙ (-21xy⁶)=…

В течении минуты команды подготавливают ответ. Затем правильный ответ появляется на экране. Ответ: - ∙(-21)∙4∙(x³∙x²∙x)∙(y∙y³y⁶)=12x⁶y¹⁰

Сразу после решения примеров начинаем обсуждение.

Вопросы к классу:

В. Как вы решили эти примеры? Какие правила вы при этом использовали?;

О. Сначала мы умножили числовые множители, а затем степени с одинаковыми основаниями;

О. Мы использовали правило умножения одночленов;

В. Как, по-вашему, что при этом получается?;

О. При этом получается одночлен, потому что произведение одночленов есть одночлен;

О. Мы, упростив, получили стандартный вид одночлена;

В. Что значить «стандартный вид» одночлена?;

О. Это – когда в одночлене число и каждая переменная записаны один раз в определенной степени;

В. Вы сказали: «мы упростили», а как? Какие законы вы при этом использовали?;

О. Переместительный закон умножения: ab = ba. Используя его, мы меняли местами сомножителей;

О. Сочетательный закон умножения: (ab)∙c=a∙(bc). Он был использован во втором примере, когда мы сочли нужным написать рядом - ∙(-21), чтобы потом их сократить.

Решим еще два примера.

1. (-3a³b²)³=…

Через минуту команды готовы ответить. Затем правильный ответ появляется на экране:

(-3)³∙(a³)³∙(b²)³=-27a⁹b⁶

1. (- x³y²)⁴=…

После решения команд правильный ответ выводится на экран. Ответ:

(-)⁴∙(x³)⁴∙(y²)⁴=x¹²y⁸

В. Как вы нашли ответ?;

О. Мы возвели в степень сначала числовой множитель, затем каждую степень из множителей тоже возвели в степень;

В. А что в результате получился?;

О. Одночлен, потому что степень одночлена тоже одночлен;

В. Как вы считаете, что нам необходимо знать и уметь делать при решении таких примеров?;

О. Надо знать правило умножения одночленов и возведения их в степень;

О. Уметь применять эти правила при выполнении подобных примеров;

Поупражняемся еще.

Давайте применим наши знания для более сложного задания:

Возьмем одночлен -5b и умножим его на многочлен 2b⁶-4b+7.

В ходе решения команды приходят к правильному ответу.

-5b∙(2b⁶-4b+7)=-5b∙2b⁶-5b∙(-4b)+(-5b)∙7=-10b⁷+20b²-35b

Ответ готов, показываем слайд с готовым ответом.

Следующий пример:

Берем одночлен 8а² и умножаем его на многочлен 5b³+2a-3ab

Когда у команд готов правильный ответ показываем слайд с готовым ответом:

8a²∙ (5b³+2a-3ab)=8a²∙5b³+8a²∙2a-8a²∙3ab=40a²b³+16a³-24a³b

В. Каким образом вы получили ответ?;

О. В каждом примере мы умножили одночлен, который стоял перед скобкой, на каждый член многочлена в скобке;

В. Что у вас получилось?;

О. Сложив и упростив эти одночлены, мы получили многочлен в стандартном виде;

В. Что же является многочленом? И что означает «Многочлен в стандартном виде»?;

О. Сумму одночленов называют многочленом;

О. Если каждый член многочлена является одночленом стандартного вида и многочлен не содержит подобных слагаемых, то говорят, что он записан в стандартном виде;

В. Какое свойство умножения было применено?;

О. При раскрытии скобок, мы использовали распределительное свойство умножения; a(b+c)=ab+ac

В; Какие правила раскрытия скобок вы знаете?;

О. Если перед скобкой стоит знак «+», то скобки опускаются, а члены записываются с теми же знаками; a+(b+c)= a+b+c

О. Если перед скобкой стоит знак «-», то скобки опускаются, а члены записываются с противоположными знаками; a-(b+c)=a-b-c

Давайте, используя эти правила решим уравнение:

3(х-1)-2(3-7х)=2(х-2)

Когда предполагаемый ответ готов, показываю слайд:

3х-3-6+14х=2х-4

17х-9=2х-4

17х-2х=-4+9

15х=5

х=

х=

Ответ: х=

И так, чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножать этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить:

а (b+c)=ab+ac

А теперь попробуйте решить уравнение:

2х²+5х=0

Через минуту предполагаемый ответ готов, показываю слайд:

Выносим за скобки общий множитель (последующая тема):

х∙(2х+5)=0

По условию равенства нулю произведения имеем:

х=0 или 2х+5=0

2х=5

х=-2,5.

Ответ: х=0;-2,5.

Таким образом, вы использовали обратное действие, то есть вынесли общий множитель за скобки и использовали при этом правило:

ab+ac=a(b+c)

II-часть урока:

«Мало иметь хороший ум, главное - уметь его применять».

Словами великого французского математика Рене Декарта начинаем работу в командах.

Каждой команде задается по 7 заданий в заранее подготовленных рабочих листах.

Время идет, на экране появляется цитата великого Леонардо да Винчи «Единственным критерием истины является опыт».

Время закончилось.

Все команды готовы к обсуждению.

Помогаю прикрепить красочно оформленные листы к доске. Идет бурное обсуждение. Лидер каждой команды выступив, старается оценить работу своей команды на «5», при этом учитываются обнаруженные ошибки и т.д. Таким образом, учащиеся выступают активными субъектами процесса познания.

После контроля и оценивания результата работ и заданий на дом, хвалю и благодарю каждого.

Урок заканчиваю словами выдающегося математика М. В. Ломоносова:

«Математику только затем учить надо, что она ум в порядок приводит».

P.S.: Как видно в этом конструктивном учебном процессе не было передачи готовых знаний. Знания были созданы учениками в процессе мыслительной деятельности, путем логических установок и вопросов учителя, в активной дискуссии.

Практическая значимость статьи. Статью могут использовать школьные учителя, студенты, магистры и в целом, она может принести пользу любому, кто заинтересован в этой проблеме.

Библиография

1. Riyaziyyat 7 sin. M.Mərdanov və başqaları 2012 Bakı

2. F. Bunyatova “Constructive teaching.: root , principles, problems and examples from lessons.” Bakı 2008

3. М.В. Кларин “Технология обучения: идеал и реальность”. Рига 1999г.

4. Д.Г. Левитас “Практика обучения: современные образовательные технологии”. Москва 1998г

5. А.В. Хуторской. “Технология эвристического обучения/ новые технологии”. 1998г. №4.

6. Н.П. Шаталова. ”КОНСТРУКТИВНОЕ ОБУЧЕНИЕ: ПУТИ СТАНОВЛЕНИЯ” Куйбышевский филиал ГОУ ВПО «НГПУ» г. Куйбышев, Россия.

7. И.Д. Гараев. ” Инновационные процессы в педагогике” Использован материал из Учебно-методического пособия. «Современные технологии образования», Казань, 2009 год .

[email protected]