Трапеция и ее свойства

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны

( Трапе́ция  от др.-греч. τραπέζιον— «столик» от τράπεζα— «стол»)

Боковая сторона

Боковая сторона

Основание

Основание

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции

B

C

M – середина АВ ,

N – середина CD .

MN – средняя линия трапеции

N

M

D

A

Виды трапеций

Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны

Трапеция, один из углов которой прямой , называется прямоугольной

Свойства равнобедренной трапеции

B

C

D

A

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны

B

C

D

A

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция Доказать:  A =  D ,  B =  C

Доказательство:

B

C

D

A

E

1. Проведём СЕ  АВ.

СЕ  АВ и ВС  А D 

ABC Е – параллелограмм

Доказательство:

B

C

1

2

D

A

E

2. АВ = CD и АВ = СЕ 

CD = СЕ 

 Δ CD Е – равнобедренный 

 1=  2

Доказательство:

B

C

1

2

3

D

A

E

3. АВ  C Е 

 1=  3 (соотв.)

 1=  3 и  1=  2 

  2=  3   А =  D

Доказательство:

B

C

1

2

3

D

A

E

4.  АВ C = 180 0 –  А

 В CD = 180 0 –  D

 А =  D

 АВ C =  В CD

B

C

D

A

В равнобедренной трапеции диагонали равны

B

C

D

A

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция Доказать: АС = В D

Доказательство:

C

B

D

A

1. Рассм. Δ АВС и Δ В CD

А B = CD – по опр. равноб. трап .

 АВС =  BCD по св. углов трап.

ВС – общая

Доказательство:

C

B

D

A

2. Δ АВС = Δ В CD по 2 сторонам и углу между ними  А C = BD

(чтд)

Свойства равнобедренной трапеции

• В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны
• В равнобедренной трапеции диагонали равны

Признаки равнобедренной трапеции

• Если углы при каждом основании трапеции равны, то она равнобедренная
• Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная

Задача 1

Найдите углы М и Р трапеции MNPQ с основаниями MQ и NP , если  N = 109 0 , а  Q = 37 0

Задача 2

Найдите основание AD равнобедренной трапеции ABCD , если

ВС = 10 см, АВ = 12 см,

 D = 60 0