Математика в искусстве

Математика в искусстве

Математика и искусство связаны по-разному. Математика сама по себе была описана как искусство, мотивированное красотой. Математику (я бы заменила на Ее) Её можно увидеть в таких искусствах, как музыка, танцы, живопись, архитектура, скульптура и текстиль. Однако эта статья посвящена математике в изобразительном искусстве.

Художникам математика может показаться скучной, чуждой и, возможно, даже противоположностью изобразительному искусству. Эти два предмета традиционно разделены, что лишает многих знаний о сильных, но неожиданных связях между математикой и искусством. Многие известные произведения искусства имеют фундаментальные математические ссылки.

Отношения между искусством и математикой старше, чем мы думаем. Использование математики в искусстве может быть датировано 5 веком до н. э., когда греческий скульптор высокой классики Поликлейтос реализовал соотношение пропорций человеческого тела 1:√2 в своих скульптурах. Поликлейтос считал, что лепка каждой последующей части тела так, чтобы она была в 2 раза больше предыдущей, начиная с пальцев, создаст эстетически идеальное тело.

Одна из наиболее значительных работ в этом смысле на самом деле является исследованием. В 1490 году Леонардо да Винчи излагает на бумаге концепцию пропорций, задуманную Витрувием, римским архитектором первого века нашей эры (рис. 1).

Рисунок 1 - Leonardo di ser Piero da Vinci, Homo vitruvianus, 1490

В этом наброске, который является одной из самых знаменитых работ да Винчи, художник использовал математику для разработки идеальных пропорций человеческого тела. Согласно расчетам, мера длины распростертых рук мужчины равна, например, его росту. Леонардо тщательно нарисовал человека, известного нам как витрувианский человек, и поместил его внутри двух хорошо известных геометрических фигур, круга и квадрата, композиция, которая заслуживает внимания, учитывая структуру рисунка.

Золотое сечение, также известная как Божественная пропорция, это реальная константа иррациональной алгебры, которая имеет приблизительное значение 1,618. Эта константа (как следует из названия, нечто фиксированное, противоположное понятию переменной) представлена греческой буквой φ и является данью уважения художнику-скульптору Фидию, который использовал эту пропорцию для проектирования одного из самых известных архитектурных проектов Древности – Парфенона (рис. 2).

(для понимания может картинку вставить?).

Рисунок 2 – Παρθενών, 447—438 до н. э.

Мона Лиза, еще один шедевр Леонардо да Винчи, представляет золотую пропорцию в лице, а также между соотношением шеи и головы, что означает, что соотношение между этими частями составляет 1,618 (рис. 32). Это связано с интересом Да Винчи не только к анатомии, но и к математике.

Рисунок 32 - Leonardo di ser Piero da Vinci, Mona Lisa, La Gioconda, 1503

Математические открытия, как и визуальное произведение искусства, являются результатом творческой мысли. Из этого следует, что и математика, и изобразительное искусство потенциально могут представлять интерес для творчески мыслящего человека. Одним из таких людей является голландский художник Мауриц Корнелис Эшер, который объединил эти две области в серии широко известных уникальных, сложных и иллюзорных произведений искусства. Нидерландский художник-график, известен прежде всего своими концептуальными литографиями, гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов, самый яркий представитель имп-арта (изображение невозможных фигур) (рис.2).

Рисунок 43 - M. C. Escher, the Penrose triangle, Relativity, the Penrose stairs

Работы Эшера часто основывались исключительно на математических концепциях. Однако, чтобы отличить свое произведение искусства от математической диаграммы, Эшер использовал свои художественные таланты для создания уникальных, но все же невероятно точных изображений этих концепций. Это привело к тому, что работа Эшера была высоко оценена учеными всего мира. Тот факт, что мир, изображенный в теории относительности, не мог существовать, но был безупречно отображен на изображении, представлял особый математический интерес для математика и космолога профессора сэра Роджера Пенроуза. Эта статья в конечном итоге вдохновила Пенроуза на публикацию совместно с его отцом математической исследовательской работы под названием “Невозможные объекты: особый тип визуальной иллюзии”. Статья представляла собой углубленное исследование физически невозможных геометрий, таких как те, которые изображены в Теории относительности, и содержала эскизы и детали двух широко известных "невозможных объектов" - треугольник Пенроуза и лестница Пенроуза.

Треугольник Пенроуза, также известный как трибар Пенроуза или невозможный трибар, представляет собой треугольный невозможный объект, оптическую иллюзию, состоящую из объекта, который может быть изображен на перспективном рисунке, но не может существовать как твердый объект. Вариация треугольника Пенроуза, это двумерное изображение лестницы, в которой ступени делают четыре поворота на 90 градусов, когда они поднимаются или спускаются, но при этом образуют непрерывную петлю, так что человек может подниматься по ним вечно и никогда не подниматься выше.

Известный голландский художник Винсент Ван Гог в своей работе явно не занимался математикой, однако современный анализ некоторых работ Ван Гога выявляет различные представления математических концепций. Математика, найденная в "Звездной ночи" Ван Гога (рис. 54) фактически решает нерешенную проблему в физике: возможно ли построить теоретическую модель для описания поведения турбулентного потока? Турбулентность, или турбулентный поток, относится к определенному типу движения жидкости, которое заставляет жидкость претерпевать нерегулярные и хаотические изменения как в скорости, так и в направлении, часто создавая четкие спиральные узоры.

Математически турбулентность можно описать как хаотическую систему, что означает, что она имеет непредсказуемые и случайные результаты из-за высокого потенциала изменения поведения при небольших изменениях начального состояния системы.

Рисунок 54 - Vincent Willem van Gogh, De sterrennacht, 1889


Математически турбулентность можно описать как хаотическую систему, что означает, что она имеет непредсказуемые и случайные результаты из-за высокого потенциала изменения поведения при небольших изменениях начального состояния системы.
Большие непрерывные завихрения, создаваемые острыми кистями краски в небе Звездной ночи, проявляют свойства, сходные с движениями турбулентного потока. Многие другие картины Ван Гога в период Звездной ночи имеют этот естественный поток света и жидкостей, также имеющий сходство с турбулентным потоком при критическом анализе. Тот факт, что эти картины, созданные в 1880-х годах, демонстрировали такое точное изображение турбулентности, был поразителен для физиков, поскольку турбулентность не подвергалась математическому анализу до 1940-х годов.

Джексон Поллок, один из самых известных художников абстрактного экспрессионизма и один из самых противоречивых современных художников, связал искусство и математику. В 1990-х годах американский физик Ричард Тейлор из Орегонского университета заметил в картине Поллока (рис. 65) связь с геометрической моделью фракталов.

Рисунок 65 - Jackson Pollock, Number 1A, 1948

Джексон Поллок, один из самых известных художников абстрактного экспрессионизма и один из самых противоречивых современных художников, связал искусство и математику. В 1990-х годах американский физик Ричард Тейлор из Орегонского университета заметил в картине Поллока связь с геометрической моделью фракталов. Фрактал - это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом. Фракталы формируются итерационно, многократно повторяя вычисления так, что получается объект высокой сложности с множеством мелких деталей. Фракталы по определению являются фигурами неевклидовой геометрии и, как правило, относятся к сложной геометрической структуре, свойства которой повторяются в любом масштабе. И как фракталы связаны с картиной Поллока? Поллок использовал в своих картинах капельную технику, из-за которой его работы кажутся случайными. По-видимому, мы не могли ошибаться сильнее. Тейлор разделил работы на квадраты различных размеров, от 1 см до почти 5 м, что показало, что на самом деле геометрический узор повторяется. Более того, измеряя фрактальную размерность работ, Тейлор отметил, что чем больше Поллок работал над этой техникой, тем больше были значения.

Компьютеры почти необходимы в современной жизни, поэтому неудивительно, что с течением времени компьютеры нашли свой путь как в мир математики, так и в мир искусства. Для математиков компьютеры изначально предоставили им метод выполнения гигантских вычислений за невероятно короткие промежутки времени. Для художников компьютеры позволяли оптимизировать геометрические и структурные качества, что было особенно полезно для архитектурных целей.

Математика присуща искусству, которое создается с помощью компьютеров, так как для того, чтобы искусство создавалось компьютером, компьютер должен сначала обработать фрагмент кода, который по существу управляется математическими правилами и логикой. Тогда имеет смысл, что одно из самых ранних произведений искусства, созданных с помощью компьютера, было задумано математиком. Математик, специалист по информатике и художник Фридер Наке считается автором Hommage à Paul Klee 13/9/65 № 2(основанной на картине Пауля Клее под названием "Большие дороги и проселочные дороги") (рис. 76) , но фактическое физическое производство произведения искусства было полностью обработано компьютером и физическим устройством "плоттера".

Наке взял исследование Кли пропорций и взаимосвязи между вертикальными и горизонтальными линиями картины в качестве отправной точки для своего алгоритма. Затем Наке сгенерировал рисунок с помощью перьевого плоттера. Плоттер - это механическое устройство, которое держит ручку или кисть и связано с компьютером, который управляет его движениями. Наке смог задать параметры рисунка, чтобы диктовать горизонтальные и вертикальные рамки. Намеренно вводя случайные переменные в процесс, Наке также позволял компьютеру делать определенный выбор в рамках заданного числа вариантов. В то время у компьютеров не было бы экрана, на котором можно было бы визуализировать изображение. Наке подкрепил основы создания своего образа математической логикой. При этом художник демонстрирует влияние теорий информационной эстетики Макса Бенсе, которые рассматривали более научный подход к изучению эстетики и которые оказали сильное влияние на многих ранних практиков компьютерного искусства.

Поскольку Наке намеренно создал алгоритм таким образом, чтобы результат демонстрировал случайные свойства, получается, что у него было лишь смутное представление о конечном результате произведения искусства. В связи с этим возникает вопрос о том, является ли Фридер Наке автором произведения или название действительно принадлежит компьютеру и алгоритму, используемому для создания произведения.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подводя итог вышесказанному можно сделать вывод, чтоВ то время как математика может способствовать эстетической привлекательности визуального искусства, визуальное искусствокоторое в свою очередь способно элегантно и эффективно изображать математические концепции, а; в некоторых случаях даже способствует математическим исследованиям. С помощью математических концепций, изображенных в визуальных произведениях искусства, математику можно изучать и понимать с полностью визуального уровня, позволяя потенциально чуждому миру математики стать доступным для гораздо более широкой аудитории. Однако математика, используемая в ранее упомянутых произведениях, наряду со многими другими, является тонкой и часто воспринимается зрителем как должное.

Список литературы

Волошинов А.В. Математика и искусство. - М.: Просвещение, 2000.

Иконников А.В. Художественный язык архитектуры - М.: Стройиздат. 1992.

Шевелёв И.М., Марутаев М.А., Шмелёв И.П. Золотое сечение - М.: Стройиздат. 1990.

Захидов П.Ш. Основы гармонии в архитектуре. – Ташкент.: Фан, 1982.

Давыдов М. «Красота математики». Н. Новгород, 2007.

Чепракова Е., Липкина Т. Присутствие красоты. // Математика в школе. Научно-теоретический и методический журнал МО РФ. – М.: «Школьная пресса», 2001.