Арифметическая и геометрическая прогрессии

Задача

В горной местности температура воздуха летом при подъёме на каждые 100 м в среднем повышается на 0,7 . У подножия горы температура воздуха равна 25 . Найдите температуру воздуха на высоте 100 м, 200 м, 300 м.

Решение

Решив задачу, мы получили последовательность.

; ; ; ; …

Каждый член этой последовательности, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с числом . Последовательности такого вида называют арифметическими прогрессиями.

Слово «прогрессия» в переводе с латинского языка означает «движение вперёд».

Многие практические задачи приводят к арифметическим прогрессиям.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом.

Число  называется разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно задать её первый член  и разность .

Пример

Чтобы вычислить любой член арифметической прогрессии, не вычисляя все предыдущие члены, используют формулу -го арифметической прогрессии.

Эта формула позволяет вычислить любой член прогрессии, зная её первый член , номер члена  и разность прогрессии .

Пример

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

Пример

Выясним, является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная формулой .

Воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии.

Задача

Паша решил улучшить знания английского языка и каждый день учить на 5 новых слов больше, чем в предыдущий. Сколько слов выучит Паша за 10 дней, если начнёт с 1 слова?

Для решения этой задачи нужно найти сумму 10 первых членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен 1, а разность равна 5.

Конечно, можно сначала найти все 10 членов прогрессии, а потом их сложить. А можно воспользоваться формулой.

Подставим во вторую формулу соответствующие значения и выполним вычисления.

Нужно найти сумму десяти первых членов арифметической прогрессии .

Ответ: за 10 дней Паша выучит 235 слов.

Задача

Вкладчик положил в банк 10 000 рублей на депозит, по которому сумма вклада увеличивается ежегодно на 7 %. Какая сумма будет у него через 1 год, 2 года, 3 года?

Решение

Мы получили последовательность.

; ; ; ; …

Каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на 1,07. Последовательности такого вида называют геометрическими прогрессиями. Многие задачи приводят к таким последовательностям.

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же для данной последовательности число, не равное нулю.

Число  называется знаменателем геометрической прогрессии.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно задать её первый член  и знаменатель .

Пример

Чтобы вычислить любой член геометрической прогрессии, не вычисляя все предыдущие члены, используют формулу -го члена геометрической прогрессии.

Эта формула позволяет вычислить любой член прогрессии, зная её первый член , номер члена  и знаменатель прогрессии .

Пример

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Числовая последовательность, все члены которой отличны от нуля, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого её члена, начиная со второго, равен среднему пропорциональному предыдущего и последующего её членов.

 при .

Пример

Выясним, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой .

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии.

С геометрической прогрессией связано немало легенд. Наиболее известная из них рассказывает об изобретателе шахмат.

По легенде, когда создатель шахмат показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он дал изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у правителя за первую клетку шахматной доски заплатить ему 1 зерно пшеницы, за вторую – 2, за третью – 4, за четвёртую – 8 и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке.

Правитель согласился и приказал казначею выдать мудрецу нужное количество зерна. Однако, когда казначей показал расчёты, то оказалось, что расплатиться невозможно, разве что осушить моря и океаны и засеять всё пшеницей.

Такого количества пшеницы человечество не собрало за всю свою историю.

Пример

Найдём сумму первых 10 членов геометрической прогрессии, в которой , а .

Если знаменатель геометрической прогрессии равен 1, то все члены прогрессии равны первому члену. Сумму  первых членов такой геометрической прогрессии можно найти с помощью формулы .

Сейчас вы видите бесконечную периодическую десятичную дробь.

Давайте определим, какой обыкновенной дроби равно это число.

Запишем дробь  в виде суммы разрядных слагаемых.

Видим, что нам нужно найти сумму бесконечного числа слагаемых.

Слагаемые этой суммы являются членами бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем .

Такие геометрические прогрессии называются бесконечно убывающими.

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называется такая бесконечная геометрическая прогрессия, у которой .

Пример

Для того чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной, нужно найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Вернёмся к записанной выше сумме.

Таким образом, бесконечную периодическую десятичную дробь  можно записать в виде обыкновенной дроби .

Арифметическая и геометрическая прогрессии – это не просто формулы в учебнике. Это инструменты для понимания закономерностей в реальной жизни.

До встречи на следующих занятия!