Решение текстовых задач на прогрессии

Решение текстовых задач на прогрессии сводится к определению типа прогрессии (арифметическая или геометрическая), выявлению её ключевых параметров (первый член, разность или знаменатель, количество членов) и применению соответствующих формул для нахождения -го члена или суммы  первых членов.

Задача первая. В бензобак грузового автомобиля залили 600 л бензина. В первый день пути было израсходовано 30 л бензина, а в каждый следующий день расходовали на 5 л бензина больше, чем в предыдущий. Сколько литров бензина израсходовали в пятый день?

Решение

В условии задачи сказано, что в каждый следующий день расходовали на 5 л бензина больше (то есть на одно и то же число), чем в предыдущий. Значит, имеет место арифметическая прогрессия, разность которой равна 5. Первый член этой прогрессии равен 30, так как в первый день пути было израсходовано 30 л бензина.

Задача вторая. Курс оздоровительных тренировок начинают с занятия продолжительностью 10 мин. Затем каждый следующий день время тренировки увеличивают на 3 мин. В какой день с момента начала занятий продолжительность тренировки достигнет 25 мин?

Решение

В задаче сказано, что каждый следующий день время тренировки увеличивают на 3 мин, то есть на одно и то же число. Тогда можно сказать, что имеет место арифметическая прогрессия, разность которой равна 3. Первый член этой прогрессии равен 10, так как курс тренировок начинают с занятия продолжительностью 10 мин.

Задача третья. В первый день приёма документов в университет приёмная комиссия приняла документы от 320 человек. В каждый следующий день подавали документы на 100 человек больше, чем в предыдущий. Сколько человек подали документы в университет за пять первых дней?

Решение

В данной задаче речь идёт об арифметической прогрессии, так как в условии говорится, что в каждый следующий день подавали документы на 100 человек больше (то есть на одно и то же число), чем в предыдущий. Так как в первый день были приняты документы от 320 человек, то первый член прогрессии равен 320. Разность равна 100, поскольку в каждый следующий день подавали документы на 100 человек больше, чем в предыдущий.

Задача четвёртая. Во время праздничной акции количество проданных подарочных наборов ежедневно увеличивалось на одно и то же число. В первый день акции было продано 25 наборов, а в последний – 160. Сколько дней длилась акция, если известно, что всего за период акции было продано 925 подарочных наборов?

Решение

В условии сказано, что количество проданных подарочных наборов ежедневно увеличивалось на одно и то же число. Следовательно, можно сказать, что имеет место арифметическая прогрессия. В первый день акции было продано 25 наборов, а значит, первый член прогрессии равен 25. Последний член прогрессии равен 160, поскольку в последний день было продано 160 наборов. Также в задаче говорится, что всего за период акции было продано 925 подарочных наборов. А значит, сумма  первых членов прогрессии равна 925.

Задача пятая. Ученик взял в библиотеке книгу и в первый день прочитал 30 страниц. Книга настолько его увлекла, что в каждый последующий день он читал на 10 страниц больше, чем в предыдущий. Успеет ли ученик прочитать книгу за 7 дней, если в ней 490 страниц?

Решение

В задаче говорится, что в каждый последующий день ученик читал на 10 страниц больше (то есть на одно и то же число), чем в предыдущий. Следовательно, можно сказать, что имеет место арифметическая прогрессия, разность которой равна 10. Первый член этой прогрессии равен 30, так как в первый день ученик прочитал 30 страниц. Чтобы ответить на вопрос задачи, узнаем, сколько страниц ученик прочитает за 7 дней.

Задача шестая. Виктория амазонская – самая большая кувшинка в мире – очень быстро растёт. Днём её лист имеет диаметр 0,1 см, а через 12 ч достигает максимального размера. Каков максимальный диаметр листа кувшинки, если каждый час он увеличивается в 2 раза?

Решение

Так как каждый час диаметр листа кувшинки увеличивается в 2 раза, то можно сказать, что в данном случае мы имеем геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен 2. Первый член этой прогрессии равен 0,1. Известно, что максимального размера кувшинка достигает через 12 ч. Поэтому чтобы ответить на вопрос задачи, нам нужно найти 12-й член прогрессии.

Задача седьмая. В первый день мировой премьеры кинофильма было продано 500 000 билетов. В последующие дни число проданных билетов увеличивалось на 10 % ежедневно. Сколько билетов было продано за 5-й день премьеры?

Решение

Ежедневный рост продаж на 10 % означает, что количество проданных билетов каждый день увеличивается в 1,1 раза. Следовательно, можно сказать, что мы имеем дело с геометрической прогрессией, разность которой равна 1,1. Первый член этой прогрессии равен количеству билетов, проданных в первый день премьеры, то есть 500 000. Чтобы узнать, сколько билетов было продано за 5-й день премьеры, нужно найти 5-й член прогрессии.

Задача восьмая. На предприятии планируют благодаря эффективной рекламной компании в первый месяц дополнительно реализовать 1000 деталей. Далее предполагается ежемесячное увеличение дополнительной реализации в 1,5 раза. За сколько месяцев предприятие сможет реализовать по этому плану дополнительно 8125 изделий?

Решение

В задаче сказано, что на предприятии предполагается ежемесячное увеличение дополнительной реализации в 1,5 раза. А значит, имеет место геометрическая прогрессия со знаменателем, равным 1,5. Первый член этой прогрессии равен 1000, поскольку в первый месяц планируют дополнительно реализовать 1000 деталей.

Задача девятая. Павел запланировал в течение месяца ежедневно откладывать деньги. Причём в первый день он планирует отложить 1 копейку, во второй – 2 копейки, в третий – 4 копейки, в четвёртый – 8 копеек и т. д. Сможет ли Павел реализовать свой план, если его ежемесячный доход составляет 1200 рублей?

Решение

В данной задаче речь идёт о геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, поскольку в первый день Павел планирует отложить 1 копейку. Знаменатель прогрессии равен 2, так как каждый следующий день он будет откладывать в 2 раза больше денег, чем в предыдущий.

Рассмотрим месяц, в котором 30 дней.

До встречи на следующих занятиях!