Неравенства с параметрами

Параметр – это заданный буквой коэффициент в уравнении или неравенстве, который может принимать некоторые числовые значения. В зависимости от определённых значений параметра могут изменяться решения уравнения или неравенства, а также их количество.

Слово «параметр» в переводе с греческого языка означает «отмеривающий».

Решение уравнений и неравенств, содержащих параметр, является одной из самых сложных задач математики. Для их решения обычно требуются гибкость мышления, логика в рассуждения и умение анализировать ситуацию.

Основной принцип решения неравенств (уравнений) с параметром состоит в том, что нужно разбить область допустимых значения параметра на участки, в каждом из которых неравенство (уравнение) решается одним и тем же способом. Отдельно для каждого такого участка находятся решения, зависящие от значений параметра. Ответ к неравенству (уравнению) состоит из списка участков изменения параметра с указанием для каждого из них всех решений этого неравенства (уравнения).

Данный подход к решению задач с параметром часто называется методом ветвления.

Задание первое

Решите неравенство .

Решение

Если , то неравенство примет вид . Это неравенство верно для любых .

Если , то разделив обе части неравенства на положительное число, получим, что .

Если , то разделив обе части неравенства на отрицательное число, получим, что .

Ответ:

если , то ;

если , то ;

если , то .

Задание второе

При каких значениях параметра  неравенство  имеет единственное решение?

Решение

Ответ: при  неравенство имеет единственное решение.

Задание третье

Решите неравенство .

Решение

Нужно рассмотреть случаи, когда коэффициент при  равен 0, когда он положительный и когда отрицательный. Это связано с тем, что деление обеих частей неравенства на положительное число не меняет знак неравенства, а деление обеих частей неравенства на отрицательное число приводит к замене знака неравенства на противоположный.

Следующий рисунок показывает, при каких значениях параметра  коэффициент при  в левой части неравенства равен 0, при каких – положителен, а при каких – отрицателен.

Ответ:

если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то .

Задание четвёртое

При каких значениях параметра  неравенство  является следствием неравенства ?

Решение

Заменим оба неравенства на неравенства равносильные им.

Множество решений неравенства  должно содержать множество решений неравенства .

Это выполняется, если , то есть если .

Получается, что при  первое неравенство является следствием второго неравенства.

Ответ: при .

Задание пятое

Для каждого значения параметра  решите данное неравенство .

Решение

Ответ:

если , то ;

если , то ;

если , то .

До встречи на следующих занятиях!