Видеоучебник / Математика / Математика. За страницами учебника / Решение систем неравенств с двумя переменными

Решение систем неравенств с двумя переменными

Урок 24. Математика. За страницами учебника

Данный видеоурок посвящён решению систем неравенств с двумя переменными. Приводится алгоритм решения таких систем. Рассматриваются примеры. Выполняются практические задания.

Конспект урока "Решение систем неравенств с двумя переменными"

Пример

Пара чисел (1; 3) значений переменных и является решением и первого, и второго неравенства системы, так как при подстановке этих значений в каждое из неравенств мы получаем верные числовые неравенства.

Такую пару чисел называют решением системы неравенств с двумя переменными.

Множеством решений системы неравенств с двумя переменными является пересечение множеств решений входящих в неё неравенств.

Каждое неравенство с двумя переменными задаёт на координатной плоскости некоторую область, то есть множество точек. Это может быть внутренняя или внешняя часть окружности, полуплоскость и т. д. Поэтому на координатной плоскости множество решений системы неравенств с двумя переменными изображается множеством точек, представляющих собой общую часть множеств, задаваемых неравенствами входящими в систему.

Чтобы решить систему неравенств с двумя переменными, нужно:

1) решить каждое из неравенств, то есть преобразовать к виду, удобному для изображения на координатной плоскости;

2) изобразить решения неравенств на одной координатной плоскости;

3) определить пересечение найденных решений.

Пример

Выясним, какое множество точек задаёт на координатной плоскости система неравенств.

Чтобы выполнить это задание, в первую очередь изобразим координатную плоскость. Затем изобразим множества точек, которые задают неравенства данной системы.

Первое неравенство системы задаёт на координатной плоскости круг с центром в начале координат и радиусом, равным 3.

Мы закрасили внутреннюю часть окружности, так как знак неравенства – «меньше либо равно». Также обратите вниманием, что окружность изображена сплошной линией, а не пунктирной, поскольку данное неравенство нестрогое.

Второе неравенство системы задаёт полуплоскость, которая расположена выше прямой, заданной уравнением , так как знак неравенства – «больше либо равно». Поскольку это неравенство нестрогое, прямую мы изобразили сплошной линией, а не пунктирной.

Общая часть множеств, заданных неравенствами системы представляет собой сегмент круга. Множеством точек, которое задаёт данная система неравенств, является этот сегмент.

Пример

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств.

Обратите внимание, что оба неравенства этой системы являются линейными.

Сначала изобразим координатную плоскость. Затем изобразим множества точек, которые задают неравенства данной системы.

Первое неравенство. Его знак – «больше либо равно». А значит, оно задаёт множество точек, которое представляет собой полуплоскость, расположенную выше прямой, заданной уравнением . Прямую мы изобразили сплошной линией, а не пунктирной, так как неравенство нестрогое.

Знак второго неравенства – тоже «больше либо равно». Оно задаёт множество точек, которое представляет собой полуплоскость, расположенную выше прямой, заданной уравнением . Эту прямую мы изобразили сплошной линией, поскольку неравенство нестрогое.

Видим, что пересечение множеств представляет собой угол. Получается, что множеством точек, которое задаёт данная система неравенств, является этот угол.

Пример

Выясним, какое множество точек задаёт на координатной плоскости система неравенств.

Как и в предыдущем примере, оба неравенства системы являются линейными.

В первую очередь изобразим координатную плоскость. Затем изобразим множества точек, которые задают неравенства данной системы.

Первое неравенство системы задаёт полуплоскость, которая расположена ниже прямой, заданной уравнением , так как знак неравенства – «меньше либо равно». Поскольку это неравенство нестрогое, прямую мы изобразили сплошной линией.

Второе неравенство системы задаёт полуплоскость, которая расположена выше прямой, заданной уравнением , так как знак неравенства – «больше либо равно». Неравенство нестрогое, поэтому прямую мы изобразили сплошной линией.

Обратите внимание, что угловые коэффициенты прямых равны. Это значит, что построенные прямые параллельны. Следовательно, пересечением указанных полуплоскостей, является полоса. Получается, что множеством точек, которое задаёт данная система неравенств, является эта полоса.

Выполним несколько заданий.

Задание первое. Выясните, является ли решением системы неравенств пара чисел.

Решение

Задание второе. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств.

Решение

Нам понадобится координатная плоскость, на которой мы будем изображать множества решений неравенств системы.

Первое неравенство задаёт полуплоскость, которая расположена правее вертикальной прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку с координатами (3; 0). Поскольку это неравенство нестрогое, прямую изобразили сплошной линией.

Второе неравенство системы задаёт полуплоскость, которая расположена выше горизонтальной прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через точку с координатами (0; 1). Прямую изобразили сплошной линией, так как это неравенство нестрогое.

Множеством решений рассматриваемой системы является пересечение множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.

Задание третье. Покажите на координатной плоскости множество решений системы неравенств.

Решение

Сначала изобразим координатную плоскость.

Знак первого неравенства – «больше либо равно», а значит, оно задаёт множество точек, которое представляет собой полуплоскость, расположенную выше прямой . Прямую мы изобразили сплошной линией, так как данное неравенство нестрогое.

Знак второго неравенства системы – «меньше либо равно». Значит, оно задаёт множество, представляющее собой полуплоскость, которая расположена ниже прямой . Это неравенство нестрогое, поэтому прямую мы изобразили сплошной линией.

Задание четвёртое. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств.

Решение

Изобразим координатную плоскость, на которой покажем множества решений неравенств системы.

Чтобы показать, множество решений первого неравенства, изобразим на координатной плоскости окружность с центром в точке с координатами (2; -1) и радиусом, равным 1.

Окружность разделила плоскость на две часть (внутреннюю и внешнюю). Так как знак неравенства «больше либо равно», то множеством его решений является внешняя часть. Причём окружность мы изобразили сплошной линией, так как неравенство нестрогое.

Чтобы показать, множество решений второго неравенства, изобразим на координатной плоскости окружность с центром в точке с координатами (2; -1) и радиусом, равным 3.

Окружность разделила плоскость на две часть (внутреннюю и внешнюю). Знак неравенства «меньше либо равно», а значит, множеством его решений является внутренняя часть окружности, то есть круг. При это окружность мы изобразили сплошной линией, так как неравенство нестрогое.

Получается, что множество решений рассматриваемой системы является кольцо, образованное пересечением множества решений первого неравенства и множества решений второго неравенства.

До встречи на следующих занятиях!