Уравнения, сводящиеся к линейным

Занятие будет посвящено решению уравнений, сводящихся к линейным. Прежде чем приступить к выполнению заданий, напомним, что линейным уравнением называется уравнение вида , где  и  – числа, а  – переменная.

Чтобы решить уравнение, сводящееся к линейному, можно:

1)    раскрыть скобки;

2)    перенести слагаемые с переменной в одну часть уравнения, а без переменной – в другую (при этом не забываем менять знаки перенесённых слагаемых на противоположные);

3)    привести подобные слагаемые;

4)    решить получившееся линейное уравнение.

Давайте выполним задания.

Задание первое. Найдите корни уравнений.

Решим эти уравнения, используя алгоритм, который мы привели выше.

Уравнение а) . Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения. Затем перенесём  в правую часть уравнения, а  – в левую. При этом не забудем изменить знаки этих слагаемых на противоположные. Теперь приведём подобные слагаемые и получим линейное уравнение . Это уравнение имеет единственный корень, равный .

Уравнение б) . В первую очередь раскроем скобки в левой части уравнения. Потом  и перенесём в правую часть уравнения, а  – в левую (не забудем изменить знаки этих слагаемых на противоположные). Теперь приведём подобные слагаемые и получим линейное уравнение . Это уравнение имеет единственный корень, который равен  .

Уравнение в) . В первую очередь раскроем скобки в левой и правой частях уравнения. Затем перенесём слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую. При этом не забудем изменить знаки этих слагаемых на противоположные. Приведём подобные слагаемые и получим линейное уравнение , которое имеет единственный корень, равный .

Уравнение г) . Для этого сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения. Далее перенесём слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а без переменной – в правую (не забудем изменить знаки этих слагаемых на противоположные). Приведём подобные слагаемые и получим линейное уравнение . Это уравнение имеет единственный корень, который равен .

Задание второе. Примените формулы квадрата суммы и квадрата разности и решите уравнения.

Решение.

Уравнение а) . В левой части этого уравнения выражение в первых скобках умножим на выражение во вторых скобках. В правой части уравнения выполним возведение в квадрат, применив формулу квадрата разности.

Уравнение б) . В левой части уравнения выполним возведение в квадрат, применив формулы квадрата суммы и квадрата разности.

Задание третье. Примените формулы сокращённого умножения и найдите корни уравнений.

Решение.

Уравнение а) . В левой части уравнения возведём  в квадрат, применив формулу квадрата разности.  умножим на , применив формулу разности квадратов.

Уравнение б) . К выражению в левой части применим формулу разности квадратов. В правой части выполним возведение в квадрат, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы.

Задание четвёртое. Решите уравнения.

Прежде чем приступить к решению уравнений, напомним, что, умножив обе части уравнения на одно и то же число, не равное , получим уравнение, равносильное данному.

Решение.

Задание пятое. Убедитесь, что любое число является корнем уравнения .

Чтобы выполнить задание, решим это уравнение.

Это уравнение равнение бесконечно много корней.

Таким образом, мы с вами убедились, что любое число является корнем данного уравнения.

Задание шестое. Найдите значение переменной, при котором сумма значений выражений  и  равна 9.

Решение.

Давайте запишем сумму данных выражений. В условии сказано, что она равна 9.

Чтобы выполнить задание, нужно решить получившееся уравнение.

Тогда получается, что при  сумма значений данных выражений равна 9.

Задание седьмое. Решите уравнение .

Решение.

На этом мы закончим наше занятие. До встречи!