Уравнения с модулем

Занятие будет посвящено уравнениям с модулем. Прежде чем приступить к решению таких уравнений, напомним, что модулем числа  называется расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Модуль числа  обозначают .

Посмотрите на координатную прямую, на которой отмечены точки с координатами  и .

Точка с координатой  расположена на расстоянии  единичных отрезков от начала координат. А значит, .

Точка с координатой  расположена на расстоянии  единичных отрезков от начала координат. А значит, .

Получается, что числа  и  имеют одинаковые модули.

Расстояние не может быть отрицательным, а значит, и модуль числа не может быть отрицательным.

Точка с координатой  совпадает с началом отсчёта, поэтому модуль .

Получается, что модуль числа  равен самому числу , если  – неотрицательное число. Модуль числа  равен противоположному числу (то есть ), если  – отрицательное число.

Противоположные числа имеют равные модули ().

Давайте приступим к решению уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Задание первое. Решите уравнения.

Решение.

Второе уравнение б)  имеет только один корень (), потому что только модуль  равен .

Задание второе. Найдите корни уравнений.

Решение.

а)

Мы знаем, что только модуль  равен . Тогда приравняем выражение под знаком модуля к  и решим получившееся линейное уравнение.

Третье уравнение в)  не имеет решений, так как модуль не может принимать отрицательные значения.

Чтобы решить уравнение г) , умножим его левую и правую части на .

Задание третье. Решите уравнения.

Решение.

Уравнение  не имеет решений, так как квадрат числа не может принимать отрицательные значения.

Уравнение  имеет решения. Это .

Получается, что данное уравнение имеет два корня ( и ).

Чтобы решить уравнение в) , в первую очередь сделаем так, чтобы слагаемые, содержащие переменную под знаком модуля, находились в левой части уравнения, а остальные – в правой.

Задание четвёртое. Найдите корни уравнений.

Решение.

а)

Обратите внимание, что выражение под знаком модуля равно выражению, стоящему в правой части уравнения, со знаком «».

Следовательно, наше уравнение равносильно неравенству . Решим это неравенство и получим, что корнями данного уравнения являются .

Чтобы решить уравнение б) , воспользуемся определением модуля.

Задание пятое. Решите уравнение .

Решение. По смыслу модуля выражения, которые стоят под знаком модуля, либо равны, либо противоположны по знаку.

Задание шестое. Решите уравнение .

Решение. В первую очередь найдём значения переменной , которые обращают выражения, стоящие под знаками модуля, в .

Числа  и  разбивают числовую прямую на три промежутка. Давайте решим данное уравнение на каждом из этих промежутков.

На этом мы закончим наше занятие. До встречи на следующих занятиях!