Линейные уравнения с параметрами

Занятие будет посвящено решению линейных уравнений с параметрами.

Сейчас перед вами несколько уравнений.

В каждом из них все коэффициенты при  и свободные члены – конкретные числа. Поэтому, решив эти уравнения, мы тоже получим конкретные числа.

Теперь посмотрите на такие уравнения.

Обратите внимание, что в этих уравнениях значения коэффициентов при переменной икс и свободные члены неизвестны. Они зависят от . При различных значениях  – они разные. А значит, и решения этих уравнений при изменении значений  будут различными. Вот эта переменная величина , от которой зависят коэффициенты уравнения, и называется параметром.

Если в уравнении (неравенстве) коэффициенты при неизвестных величинах или свободных членах зависят от некоторой переменной, то эта переменная называется параметром.

Давайте приступим к решению линейных уравнений с параметрами.

Задание первое. При всех значениях  решите уравнение .

Решение. Это уравнение является линейным. В нём и коэффициент при , и свободный член зависят от параметра .

Разделить обе части уравнения на  и сразу написать, что  при всех , было бы неправильно. Ведь  при . Следовательно, это выражение при  теряет смысл. Поэтому нам надо рассмотреть отдельно два случая.

Ответ: при  уравнение не имеет решений; при  уравнение имеет единственное решение .

Задание второе. Выясните, при каком значении  уравнение : а) не имеет корней; б) имеет единственный корень.

Решение. Сначала преобразуем данное уравнение.

Видим, что при  это выражение не имеет смысла.

Тогда можем записать, что данное уравнение не имеет корней, если , то есть .

А вот при , уравнение имеет единственный корень .

Ответ: а) при ; б) при .

Задание третье. Определите, при каком значении параметра  уравнения  и  равносильны.

Решение. В первую очередь решим данные уравнения.

Напомним, что уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

Значит, чтобы выяснить, при каких  данные уравнения равносильны, мы приравняем найденные решения и решим получившееся уравнение.

Получается, что при , данные уравнения равносильны.

Ответ: при  данные уравнения равносильны.

Задание четвёртое. Выясните, при каком значении  уравнение  имеет бесконечно много корней.

Решение.

Линейное уравнение имеет бесконечно много корней, если и коэффициент при , и свободный член равны . Тогда данное уравнение имеет бесконечно много корней, если , то есть .

Ответ: при  уравнение имеет бесконечно много корней.

Задание пятое. При всех значениях параметра  решите уравнение .

Решение.

Ответ: уравнение имеет бесконечно много решений при ;  при .

Задание шестое. При всех значениях параметра  решите уравнение .

Решение.

Сказать, что  – это корень уравнения при всех  мы не можем, так как при  и  данное выражение не имеет смысла. Поэтому отдельно рассмотрим два случая.

Ответ: при  уравнение не имеет решений; при  уравнение имеет бесконечно много решений; при  и при  уравнение имеет единственное решение .

На этом мы закончим наше занятие. До новых встреч!