Меню
Разработки
Разработки  /  Математика  /  Подготовка к ОГЭ  /  9 класс  /  Виды и алгоритмы решения уравнений

Виды и алгоритмы решения уравнений

20.12.2020

Содержимое разработки

Уравнения.

Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные переменные.

Уравнение с одним неизвестным x записывается в виде f(x)=g(x).

Корнем уравнения называется всякое число, при подстановке которого вместо неизвестной в обе части уравнения получается верное числовое равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни, или доказать, что их нет.

Областью определения уравнения или областью допустимых значений уравнения (ОДЗ) называется множество всех тех значений переменных x, при которых оба выражения f(x) и g(x) имеют смысл.

Два уравнения называются равносильными на данном числовом множестве, если они имеют одни и те же корни или оба не имеют корней.

  1. Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида ax + b = 0, где а и b – действительные числа, x – неизвестная величина.

  • Любой член уравнения можно перенести из одно части в другую, изменив его знак на противоположный.

  • Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

При решении линейного уравнения возможны случаи:

• если а ≠ 0, то ax + b = 0, x =− b : a, один корень;

• если a = b = 0, то 0 ⋅ x + 0 = 0 , x ∈ R ⇒ бесконечное множество решений;

• если a = 0, b ≠ 0, то 0 ⋅ x + b = 0, 0 ⋅ x = −b ⇒ корней нет.

Алгоритм решения уравнения:

  • Переносят члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие неизвестного, в правую часть.

  • Приводят подобные слагаемые.

  • Делят обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю.



  1. Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем, а ≠ 0.

а – первый коэффициент; b – второй коэффициент; с – свободный член.

Квадратные уравнения, в которых хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, называются неполными.

аx2 + c = 0 (b = 0)

ax2 + bx = 0 (c =0)

ax2 = 0 (b =c =0)

аx2 = − c

х2 = - c : a

1) Если ac 0 – корней нет

2) Если ac

х1 = - c : a

х2 = - - c : a

x(ax + b) = 0

x = 0 или ax + b = 0

x1 = 0 x2 = - b : a

⇒ всегда 2 корня


x= 01корень(два равных корня)



Алгоритм решения квадратного уравнения



  1. Выписать коэффициенты.

  2. Вычислить дискриминант по формуле D = b2 – 4ac,

  3. Сравнить дискриминант с 0.

Возможны случаи:

D корней нет,

D = 0 два равных корня x1,2 = ,

D 0 два корня x1 = x2 =



Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называется приведенным:

х2 + pх + q = 0

Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по формулам:

  1. если D 0 , то x1 = x2 =

  2. если D = 0, то x1,2 =



Теорема Виета

Сумма корней квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 равна ,

произведение корней равно


Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

х2 + pх + q = 0,

где х1 и х2 – корни приведенного квадр. уравнения.

  1. Другие способы решения уравнений.

Уравнения третьей, четвертой и т.д. степени могут решаться разными способами.

  1. Разложение на множители.

  • Записать уравнение в виде многочлена стандартного вида приравненного к 0.

    • f(x)=0

  • Разложить многочлен на множители любым способом.

  • Использовать свойство: произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0. Для этого каждый множитель приравниваем к 0.

  • Решить получившиеся уравнения.



  1. Введение новой переменной



  • Обозначить повторяющееся выражение, содержащее переменную другой буквой.

  • Записать уравнение, заменив сложные выражения новой переменной.

  • Решить получившееся уравнение.

  • Подставить найденные значения переменной в выражение для замены исходной переменной.

  • Решить получившиеся уравнения с исходной переменной ( таких уравнений может быть несколько) .



  1. Линейное уравнение с двумя неизвестными – это уравнение вида ax + by = c где x и y переменные, a, b, c некоторые числа.

Решением уравнения с двумя неизвестными называют пару чисел х и у , обращающую это уравнение в верное равенство.

  • Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

  • Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.




Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное числовое равенство.

Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.



Системы двух уравнений с двумя неизвестными


х + у = 10

х – у = 4 - система двух уравнений с двумя неизвестными



Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у , которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство.

Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет.

Способы решения систем двух уравнений с двумя неизвестными

  1. способ подстановки, нужно:



  1. из одного уравнения системы ( всё равно из какого) выразить одно неизвестное через другое, например у через х.

  2. полученное выражение подставить в другое уравнение системы, получится одно уравнение с одним неизвестным х.

  3. решить это уравнение, найти значение х.

  4. подставив найденное значение х в выражение для у, найти значение у.



  1. способ алгебраического сложения, нужно



  1. уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.

  2. складывая и вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное.

  3. подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.



  1. графический способ, нужно:



  1. Построить графики каждого из уравнений системы в одной системе координат

  2. Найти координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются)

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых- графиков линейных уравнений системы.

  1. Прямые пересекаются, т.е. имеют одну общую точку. Система уравнений имеет единственное решение.

  2. Прямые параллельны, т.е. не имеют общих точек. Система уравнений не имеет решений.

  3. Прямые совпадают. Система уравнений имеет бесконечно много решений.



  1. Способ введения новых переменных –применяется в том случае, если выражения с переменными имеют сложный вид.



  1. Обозначить выражения, содержащие переменные другими буквами.

  2. Записать уравнения системы, заменив сложные выражения новыми буквами.

  3. Решить получившиеся уравнения.

  4. Подставить найденные значения букв в выражения для замены переменных.

  5. Решить получившиеся уравнения с исходными переменными .

Другие способы решения уравнений.

Уравнения третьей, четвертой и т.д. степени могут решаться разными способами.

  1. Разложение на множители.

  • Записать уравнение в виде многочлена стандартного вида приравненного к 0.

    • f(x)=0

  • Разложить многочлен на множители любым способом.

  • Использовать свойство: произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0. Для этого каждый множитель приравниваем к 0.

  • Решить получившиеся уравнения.



  1. Введение новой переменной



  • Обозначить повторяющееся выражение, содержащее переменную другой буквой.

  • Записать уравнение, заменив сложные выражения новой переменной.

  • Решить получившееся уравнение.

  • Подставить найденные значения переменной в выражение для замены исходной переменной.

  • Решить получившиеся уравнения с исходной переменной ( таких уравнений может быть несколько) .


Дробно рациональные уравнения

Уравнения, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым.



Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным.





Алгоритм решения дробно рациональных уравнений.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо:

1)    Разложить все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители.

2)    Найти общий знаменатель этих дробей.

3)    Умножить все слагаемые данного уравнения на общий знаменатель.

4)    Решить получившееся целое уравнение.

5)    Из найденных корней исключить те, которые обращают в нуль общий знаменатель данного уравнения.



-75%
Курсы повышения квалификации

Использование табличного процессора в обучении математики

Продолжительность 36 часов
Документ: Удостоверение о повышении квалификации
3000 руб.
750 руб.
Подробнее
Скачать разработку
Сохранить у себя:
Виды и алгоритмы решения уравнений (54.46 KB)