Абсолютная величина

Пояснительная записка

За основу взято учебное пособие «Абсолютная величина» кафедры математики гимназии № 40 и учебное издание Голубева В.И. «Эффективные методы решения задач по теме «Абсолютная величина»» и книга  «Абсолютная величина», автор- И.И. Гайдуков;  издательство «Просвещение» 1964г.

Данная программа курса по выбору своим содержанием сможет привлечь учащихся 9 классов, которым интересна математика и которым хочется глубже и основательнее познакомиться с ее методами и идеями.

Программа курса предназначена для углубления знаний по математике, для поддержки основного базового курса, не нарушая его целостности, а также для ориентации учащихся в выборе профиля обучения и индивидуального образовательного пути.

Программа курса предусматривает изучение темы «Абсолютная величина», позволяет подробно познакомить учащихся с понятием модуля, детально разобрать алгоритмы построения модульных графиков, научить решать уравнения, содержащие знак абсолютной величины.

Выбранный данный курс предполагает рассмотреть примеры и задачи доступные школьникам 9 классов и затрагивает одну из самых популярных тем «абитуриентской» математики «Абсолютная величина». 

Популярность этой темы обусловлена удивительными свойствами модуля числа, многие из которых совершенно не отражены как в учебниках, так и в многочисленных пособиях для поступающих в вузы.

 «Приоткрыть завесу» тайны, увлечь девятиклассников эффективными методами решения задач по теме «Абсолютная величина» и составляет основную цель данного курса.

Курс рассчитан  на 34 часа. Программой предусмотрено изучение теоретических вопросов, практикума по решению задач

Цель курса

Научить учащихся строить модульные графики и решать уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины.

Задачи курса

Формирование умения оперировать понятием модуля

Формирование способов самостоятельного приобретения знаний

Формирование способов логических рассуждений

Развитие графических  навыков

Формирование навыков решения уравнений и неравенств.

Ожидаемые результаты

Учащиеся должны знать:

определение понятия «модуль»;

геометрическую интерпретацию понятия | а |;

основные свойства модуля;

эффективные методы решения задач, содержащих модуль.

алгоритмы построения модульных графиков

алгоритмы решения уравнений с модулем

алгоритмы решения неравенств с модулем

Учащиеся должны уметь:

упрощать выражения, содержащие модуль;

применять свойства модуля к решению задач;

применять алгоритмы для построения графиков;

строить модульные графики;

решать уравнения с модулем;

решать неравенства с модулем;

решать задачи, содержащие модуль.

Содержание курса

Определение. Геометрическая интерпретация понятия модуля. Основные свойства модуля. (1ч)

График функции у =f | х |. (2ч)

График функции у = |f(х)|. (2ч)

График функции у = |f(|х|)|. (2ч)

График функции |у| = f(х), где f(х) ≥ 0. (2ч)

График функции |у| = |f(х)|. (2ч)

Графики некоторых простейших функций, содержащих модуль. (2ч)

Построение графиков функции вида у = ||||х-а|-в|-с|-d|. (2ч)

Уравнения вида │f(х)│= а, а ≥ 0 (2ч)

Уравнения вида f│х│= а(2ч)

Уравнения вида │f(х)│= h(х) (2ч)

Эффективные методы решения задач, содержащих абсолютную величину.(3ч)

Неравенства с одним неизвестным.(2ч)

Неравенства с двумя неизвестными.(3ч)

Системы уравнений и неравенств.(4ч)

Итоговое занятие. Зачетная работа. (1ч).

Методические рекомендации по изучению курса.

Занятие №1

Понятие абсолютной величины. Абсолютная величина функции. Геометрическая интерпретация модуля. Основные свойства модуля. Приложение №1.

Занятие №2, 3,4

Графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины. График функции у = f(|х|). Симметричность графика функции относительно оси ординат. Приложение №2.

Занятие №5,6,7

График функции у =| f(х)|. Симметричность графика функции относительно оси абсцисс. Приложение №3

Занятие №8,9

График функции у =| f(|х|)|. Алгоритм построения. Преобразование участков графика, расположенных в нижней полуплоскости, в верхнюю полуплоскость симметрично относительно оси абсцисс. Приложение №4

Занятие №10-12

График функции |у| = f(х). Порядок построения графика. Симметричность относительно оси ОХ. Приложение №5

Занятие №13-16

График функции |у| = | f(х)|. Алгоритм построения графика. Симметричность относительно оси абсцисс. Приложение №6

Занятие №17-19

График функции у = | кх + в |. Определение абсолютной  величины данной  функции. Порядок построения графика. Симметричность относительно прямой х = -в/к. Приложение №7.

Занятие №20,21

График функции у = |||| х-а| - в| - с|-d|. Два способа построения графика (по определению модуля и использование преобразование графиков). Приложение №8.

Занятие №22-24

Уравнения с модулями. Уравнение вида | f(х)| = а, где а – число. Уравнение вида | f(х)| = |g(х)|.

Уравнение вида | f₁(х)| +| f₂(х)| +…| f_n(х)| = g(х), (вместо знаков «+» могут стоять знаки «-»).

Свойства модуля и их обобщения. Разные эффективные методы решения задач. Приложение №9.

Занятие №25,26

Неравенства с одним неизвестным | f(х)| < а, | f(х)| > в, где а и в –неотрицательные числа, а f(х)  - функция одного аргумента.

Занятие №27-29 Неравенства с двумя переменными. Графическое представление  решений неравенств.

Занятие №30-33 Системы уравнений и неравенств. Графическое решение систем.

Весь материал - в документе.

Министерство образования науки РФ

МКОУ « Озерская средняя общеобразовательная школа»

Тальменского района Алтайского края

Абсолютная

величина

Курс по выбору для учащихся 9 классов

Учитель математики

Панова Галина Викторовна

Село Озерки – 2013г.

Содержание

1. Аннотация

2. Пояснительная записка

3. Цель курса

4. Задачи курса

5. Ожидаемые результаты

6. Содержание курса

7. Методические рекомендации по изучению курса

8 . Словарь ключевых слов

9. Литература для учащихся

10 Литература для учителя

11. Приложение.

Аннотация

Существенной характеристикой числа является понятие его абсолютной величины. В практике преподавания математики в средней школе понятие модуля встречается неоднократно. В шестом классе вводится определение абсолютной величины числа и с помощью этого понятия формулируются правила действий над рациональными числами. Продолжение работы с модулем числа идет в курсе приближенных вычислений при введении понятий абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В дальнейшем свое новое приложение понятие абсолютной величины числа находит при рассмотрении свойств арифметического квадратного корня в теме «Степень с рациональным показателем».

Решение уравнений и неравенств, построение графиков, различного рода математические исследования в пределах курса средней школы требуют от учащихся умения оперировать понятием модуля. Таким образом, во всех классах в соответствии с учебной программой следует включать и рассматривать упражнения, содержащие знак абсолютной величины числа.

Данная тема важна, во-первых, потому, что задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются в КИМах при подготовке к экзаменам в 9 и 11 классах, на математических олимпиадах и вступительных экзаменах в вузы, и, во-вторых, потому, что эта тема связана практически со всеми разделами школьной программы.

Пояснительная записка

За основу взято учебное пособие «Абсолютная величина» кафедры математики гимназии № 40 и учебное издание Голубева В.И. «Эффективные методы решения задач по теме «Абсолютная величина»» и книга «Абсолютная величина», автор- И.И. Гайдуков; издательство «Просвещение» 1964г.

Данная программа курса по выбору своим содержанием сможет привлечь учащихся 9 классов, которым интересна математика и которым хочется глубже и основательнее познакомиться с ее методами и идеями.

Программа курса предназначена для углубления знаний по математике, для поддержки основного базового курса, не нарушая его целостности, а также для ориентации учащихся в выборе профиля обучения и индивидуального образовательного пути.

Программа курса предусматривает изучение темы «Абсолютная величина», позволяет подробно познакомить учащихся с понятием модуля, детально разобрать алгоритмы построения модульных графиков, научить решать уравнения, содержащие знак абсолютной величины.

Выбранный данный курс предполагает рассмотреть примеры и задачи доступные школьникам 9 классов и затрагивает одну из самых популярных тем «абитуриентской» математики «Абсолютная величина».

Популярность этой темы обусловлена удивительными свойствами модуля числа, многие из которых совершенно не отражены как в учебниках, так и в многочисленных пособиях для поступающих в вузы.

«Приоткрыть завесу» тайны, увлечь девятиклассников эффективными методами решения задач по теме «Абсолютная величина» и составляет основную цель данного курса.

Курс рассчитан на 34 часа. Программой предусмотрено изучение теоретических вопросов, практикума по решению задач

Цель курса

Научить учащихся строить модульные графики и решать уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины.

Задачи курса

• Формирование умения оперировать понятием модуля

• Формирование способов самостоятельного приобретения знаний

• Формирование способов логических рассуждений

• Развитие графических навыков

• Формирование навыков решения уравнений и неравенств.

Ожидаемые результаты

Учащиеся должны знать:

• определение понятия «модуль»;

• геометрическую интерпретацию понятия | а |;

• основные свойства модуля;

• эффективные методы решения задач, содержащих модуль.

• алгоритмы построения модульных графиков

• алгоритмы решения уравнений с модулем

• алгоритмы решения неравенств с модулем

Учащиеся должны уметь:

• упрощать выражения, содержащие модуль;

• применять свойства модуля к решению задач;

• применять алгоритмы для построения графиков;

• строить модульные графики;

• решать уравнения с модулем;

• решать неравенства с модулем;

• решать задачи, содержащие модуль.

Содержание курса

• Определение. Геометрическая интерпретация понятия модуля. Основные свойства модуля. (1ч)

• График функции у =f | х |. (2ч)

• График функции у = |f(х)|. (2ч)

• График функции у = |f(|х|)|. (2ч)

• График функции |у| = f(х), где f(х) ≥ 0. (2ч)

• График функции |у| = |f(х)|. (2ч)

• Графики некоторых простейших функций, содержащих модуль. (2ч)

• Построение графиков функции вида у = ||||х-а|-в|-с|-d|. (2ч)

• Уравнения вида │f(х)│= а, а ≥ 0 (2ч)

• Уравнения вида f│х│= а(2ч)

• Уравнения вида │f(х)│= h(х) (2ч)

• Эффективные методы решения задач, содержащих абсолютную величину.(3ч)

• Неравенства с одним неизвестным.(2ч)

• Неравенства с двумя неизвестными.(3ч)

• Системы уравнений и неравенств.(4ч)

• Итоговое занятие. Зачетная работа. (1ч)

Методические рекомендации по изучению курса.

Занятие №1

Понятие абсолютной величины. Абсолютная величина функции. Геометрическая интерпретация модуля. Основные свойства модуля. Приложение №1.

Занятие №2, 3,4

Графики функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины. График функции у = f(|х|). Симметричность графика функции относительно оси ординат. Приложение №2.

Занятие №5,6,7

График функции у =| f(х)|. Симметричность графика функции относительно оси абсцисс. Приложение №3

Занятие №8,9

График функции у =| f(|х|)|. Алгоритм построения. Преобразование участков графика, расположенных в нижней полуплоскости, в верхнюю полуплоскость симметрично относительно оси абсцисс. Приложение №4

Занятие №10-12

График функции |у| = f(х). Порядок построения графика. Симметричность относительно оси ОХ. Приложение №5

Занятие №13-16

График функции |у| = | f(х)|. Алгоритм построения графика. Симметричность относительно оси абсцисс. Приложение №6

Занятие №17-19

График функции у = | кх + в |. Определение абсолютной величины данной функции. Порядок построения графика. Симметричность относительно прямой х = -в/к. Приложение №7.

Занятие №20,21

График функции у = |||| х-а| - в| - с|-d|. Два способа построения графика (по определению модуля и использование преобразование графиков). Приложение №8.

Занятие №22-24

Уравнения с модулями. Уравнение вида | f(х)| = а, где а – число. Уравнение вида | f(х)| = |g(х)|.

Уравнение вида | f₁(х)| +| f₂(х)| +…| f_n(х)| = g(х), (вместо знаков «+» могут стоять знаки «-»).

Свойства модуля и их обобщения. Разные эффективные методы решения задач. Приложение №9.

Занятие №25,26

Неравенства с одним неизвестным | f(х)| f(х)| в, где а и в –неотрицательные числа, а f(х) - функция одного аргумента.

Занятие №27-29 Неравенства с двумя переменными. Графическое представление решений неравенств.

Занятие №30-33 Системы уравнений и неравенств. Графическое решение систем.

Вопросы, помогающие школьнику

освоить рефлексивное

оценивание

• Что узнал о себе, изучая курс?

• Что изменил бы в курсе?

• Какие формы занятий понравились больше всего?

• Какую пользу извлек, изучая данный курс?

Словарь ключевых слов

• Модуль

• Алгоритм

• Абсолютная величина функции

• График функции

• Уравнение

• Равносильные уравнения

• Подмодульное выражение

Литература для учителя

1. Бастянский В.Г, Сидоров Ю.В, Шабунин М.И, Мордкович. Математика: лекции, задачи, решения. – М.: изд-во «Альфа», 1994.

2. Выск Н. Практикум абитуриента в РГТУ им. К.Э. Циолковского (МАТИ); /Математика. № 47. 2004; № 1, 4, 10, 11. 2005

3. Гайдуков И.И. Абсолютная величина. – М.: Просвещение, 1964.

4. Галицкий М.Л, Гольцман А.М, Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. – М.: Просвещение, 1992.

5. Голубев В.И. Эффективные методы решения задач по теме «Абсолютная величина».- М.: Чистые пруды, 2006

6. Егерев В.К, Кордемский Б.А, Зайцев В.В. и др. Сборник задач по математике для поступающих во Втузы / Под ред. Сканави. – М.: Высшая школа, 1988.

7. Лосева С.И. Абсолютная величина: Учебное пособие. - Барнаул: АКИПКРО, 2001.

8. Смоляков А. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля./Математика. - № 18. 2005. С.61-64.

9. Модуль и квадратичная функция. /Математика.- № 7. 1998

10. Модуль действительного числа: Справочное пособие /Под ред. Шикина Е.В. – М.: изд-во «Пущино», 1992.

Литература для учащихся

1. Денищева Л.О, Глазков Ю.А, Краснянская К.А. и др. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. – М.: Интеллект-Центр, 2006.

2. Галицкий М.Л, Гольцман А.М, Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. – М.: Просвещение, 1992.

3. Егерев В.К, Кордемский Б.А, Зайцев В.В. и др. Сборник задач по математике для поступающих во Втузы / Под ред. Сканави. – М.: Высшая школа, 1988.

4. Кузнецова Л.В, Бунимович Е.А, Пигарев Б.П, Суворова С.Б. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс. – М.: Дрофа, 2005.

5. Кузнецова Л.В, Бунимович Е.А, Пигарев Б.П, Суворова С.Б. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. М.: «Просвещение», 2006

Приложение к занятию № 1 Приложение к занятию № 2

1. Раскройте знак модуля: 1. Построить графики функций:

а) у =

• |1-2х|;

• |6х²-2х(3х-1)|; б) у = 2-

• |(5х-1)(1+2х)|; в) у = 3-|х|;

• |-5х+2(х-1)+(3х+2)(5х-1)+15х²|. г) У

2. Проверить равенство:

|2х²у(ху²-2у)+3х²у²|=| х²у²-2х³у³|. д) У =

3. Упростить выражение:

|5m+3n||25m²-15mn+9n²|.

4. При каких значениях переменных

выражения имеют смысл?

Приложение к занятию № 3 Приложение к занятию № 4

Построить графики функций: Построить графики функций:

• У = 2|х-3|; а) у = |2|х|-3|;

• У = |4-х²|; б) у = ||х|-5|;

• У = |х+2|+1; в) у = |4-0,5|х||;

• У = |х²-9|-1; г) у = |2-|х||

• У = -|х-1|;

• У = 1-|х²-1|;

• У = 2-|х-1|; Приложение к занятию № 5

• У = |х³|. Построить графики функций:

а) |у| = 1-х;

б) |у| =2х-4;

в)|у-1| = х;

г) |у| = х² +2.

Приложение к занятию № 6 Приложение к занятию № 7

Построить графики функций: Построить графики функций:

• а) |у| = |х-1|; а) у = |2х+6|

• б) |у| =| х|; б) у = 1-3|х-2|

• в) |у-3| = |х|; в) у = |х+2|+|х-1|-|х-3|;

• г) |у| = |2-х|; г) у = |х+2|+|х-1|+|х-4|-8;

• д) |у-1|= |х-2 д) у = |х-1|+|х-2|+|х-3|+|х-4|;

е) у = |х-1|-|х-2|+|х-3|-|х-4|.|;

Приложение к занятию № 8 Приложение к занятию № 9

Построить графики функций: Решить уравнения и неравенства:

а) у = ||||х-2|-1|-2|-3|; 1) |5х+3|=1

б) у = |||х|-2|-2|; 2) |2х+5|+|2х-3|=8

в) у = ||||х-1|-1|-1|-1|; 3) |х²+2х|-|2-х|=|х²-х|

г) у = |||| х-1|-1|-1|-1|+2; 4) |х²+4х+3|х+3

5) х²-2|х|-80

6) |(х²-2х+1)(х-3)^-1|1

7) |(х+2)^-1|^-1|

8)

9)