Научно-исследовательская работа по математике "Решение уравнений содержащих переменную под знаком модуля"

Введение

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы, на ЦТ и на ЕГЭ. «Модуль числа». В переводе с латинского modulus – «мера». Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века. Модулем числа называют расстояние от точки, изображающей число на координатной прямой до начала отсчета.

Тезисы:

определение модуля

решение уравнений содержащие переменную под знаком модуля

уравнение вида |f(x)|= а, где а - число

уравнение вида |f(x)|= |g(x)|

уравнение вида |f1 (x)|+ |f2(x)| +. . . . . . . . . . . +|fn (x)| = g(x)

актуальность:

Понятие модуля (абсолютной величины) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы, и на ЕГЭ. Несмотря на все это, программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения. На тему «Модуль числа» по программе отводится очень мало времени: в 6 классе - 2 часа, в 8 классе - 4 часа.

Цель: систематизировать знания по теме модуль , рассмотреть все варианты и способы решений уравнении содержащих переменную под знаком модуля.

основные задачи: изучить основные методы решения уравнений содержащих переменную под знаком модуля.

Весь материал – смотрите документ.

Научно-исследовательская работа

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

Зубайдуллина Айгуль Амировна

МБОУ СОШ №1, 10 класс,

с Кушнаренково МР Кушнаренковский район Республика Башкортостан

научный руководитель:

Лукманова Тамара Раисовна

с. Кушнаренково 2012-2013 учебный год

Уравнения содержащие переменную под знаком модуля

Введение

Понятие абсолютной величины (модуля) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы, на ЦТ и на ЕГЭ. «Модуль числа». В переводе с латинского modulus – «мера». Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века. Модулем числа называют расстояние от точки, изображающей число на координатной прямой до начала отсчета.

Тезисы:

определение модуля

решение уравнений содержащие переменную под знаком модуля

уравнение вида |f(x)|= а, где а -число

уравнение вида |f(x)|= |g(x)|

уравнение вида |f1 (x)|+ |f2(x)| + ........... +|fn (x)| = g(x)

актуальность:

Понятие модуля (абсолютной величины) является одной из важнейших характеристик числа как в области действительных, так и в области комплексных чисел. Это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в вузах. Например, в теории приближенных вычислений используются понятия абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа. В механике и геометрии изучаются понятия вектора и его длины (модуля вектора). В математическом анализе понятие абсолютной величины числа содержится в определениях таких основных понятий, как предел, ограниченная функция и др. Задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в вузы, и на ЕГЭ. Несмотря на все это, программой школьного курса математики не предусмотрены обобщение и систематизация знаний о модулях, их свойствах, полученных учащимися за весь период обучения. На тему «Модуль числа» по программе отводится очень мало времени: в 6 классе -2 часа, в 8 классе - 4 часа.

Цель: систематизировать знания по теме модуль , рассмотреть все варианты и способы решений уравнении содержащих переменную под знаком модуля.

основные задачи: изучить основные методы решения уравнений содержащих переменную под знаком модуля.

Определение модуля:

|x|= 

например:

 ²=|1-|= -(1-)= 

решение уравнений содержащие переменную под знаком модуля:

1) уравнение вида |f(x)|= a:

уравнение вида |f(x)|= а, где а -число.

если а

если a = 0, то уравнение имеет решение f(x)=0.

если а 0, то уравнение |f(x)|= a эквивалентно совокупности уравнений f(x) = a, или f(x)= -1

пример :

||||x-1|+ 2|- 1|+ 1|= 2

1)|||x- 1|+ 2|- 1|+ 1= 2 |||x- 1| + 2|- 1|+ 1= - 2

|||x-1|+ 2|- 1|= 1 |||x- 1| + 2|-1|= -3 нет решения.

2)||x- 1|+ 2|= 1+ 1 ||x-1|+2|= -1+ 1

А)||x- 1|+ 2|= 2 Б)||x- 1|+ 2| = 0

А: |x- 1| + 2 = 2 |x- 1|+ 2= - 2

|x- 1|= 0 |x- 1| = - 4 нет решения.

x- 1= 0

x= 1

Б: |x- 1|= -2 нет решения.

ответ: 1

2) уравнение вида |f(x)|= |g(x)| :

|f(x)|= |g(x)|эквивалентно уравнению: 

пример:

|2x-5|=|7-3x| уравнение эквивалентно уравнению: 

4x² - 20x + 25 - 49 + 42x - 9x²= 0

-5x²+ 22x-24 = 0

x ₁ = 2 x₂ = 2.4 ответ: 2; 2.4

уравнение вида |f(x)| = |g(x)|

g(x) ≥0: ᵛ 

пример:

|5x + 2|= 3 - 3x

5x + 2 = 3 - 3x 5x + 2 = - (3 - 3x)

3 - 3x ≥ 0 3 - 3x ≥ 0

x = 0.125 2x = - 5

x ≤ 1 x= - 2.5

x ≤ 1

ответ: 0.125;-2.5

3)уравнение вида |f1 (x)|+ |f2(x)| + ........... +|fn (x)| = g(x) :

уравнение вида |f1 (x)|+ |f2(x)| + ........... +|fn (x)| = g(x)

будем решать следующим способом: 1)возьмем числовую прямую, найдем критические (.) т.е. значения х, при которых выражения стоящие под знаком | | обращаются в 0 т.е f1 (x)= 0, f2 (x)= 0...........fn(x) = 0

Критические (.) разбивают числовую прямую на интервалы, на каждом их которых выражения под | | сохраняет знак

2)раскрываем все модули на каждом интервале и решаем уравнения без модулей.

3) объединение найденных решений составляет множество решения заданного уравнения .

пример:

|x+ 1| + |x + 2| + x + 3 = |x - 5|

x+ 1= 0 x+ 2= 2 x- 5= 0

x= -1 x= -2 x= 5

I II III IV

-2 -1 5

1)- x- 1- x - 2 + x + 3= - x + 5

-x = -x + 5

0 = 5 нет решения.

2)- x - 1 + x + 2 + x + 3= -x + 5

x+ 4 = -x+ 5

2x = 1

x= 0.5 не входит в промежуток.

3)x + 1 + x + 2 + x + 3 = -x + 5

3x + 6 = - x + 5

4x = -1

x = 0.25

4) x + 1 + x + 2 + x + 3 = x- 5

3x + 6 = x - 5

2x = - 11

x = - 5.5 нет решения.

ответ: 0.25

Вывод:

В данной работе рассмотрены основные методы и способы решений уравнений содержащих переменную под знаком модуля и дана классификация способов решения каждого вида уравнения в отдельности.

5