Урок на тему "Первообразная"

7

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ

Фокинский филиал ГАПОУ «БТЭиР имени Героя Советского Союза М.А. Афанасьева»

Методическая разработка компьютерного урока по математике
II курс

«Первообразная»

подготовила

преподаватель математики

Волохо Наталья Сергеевна

Фокино

2014

Тема урока: Первообразная.

Цель урока: Ввести понятие первообразной; рассмотреть признаки постоянства функций, основное свойство первообразной и его геометрический смысл; создать таблицу первообразных.

Показать на конкретных примерах, как проверить, является ли данная функция F первообразной для данной функции  на заданном промежутке, закрепить навыки и умения доказательства, что данная функция F является первообразной для данной функции  на заданном промежутке.

Развить у студентов грамотную устную и письменную математическую речь, а также научное мировоззрение.

Методы и тип урока: Учебное занятие по изучению и первичному закреплению учебного материала. Эвристическая беседа с элементами лекции, компьютерная презентация, тестирование (компьютерное и обычное).

Оборудование: компьютер, мультимедиапроектор, компьютерная презентация урока, тесты, в том числе и компьютерные тесты, таблицы первообразных.

Межпредметные связи: информатика, компьютеризация, физика.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Сообщение темы, эпиграфа и целей урока.

(1 Слайд).

Дорогие ребята, сегодня мы с вами проводим необычный урок- это урок с компьютерной поддержкой. Все, о чем мы будем говорить, сегодня на уроке будет сопровождаться слайдами на экране, это поможет вам лучше усвоить материал урока и вести краткий конспект в тетради. Знания, полученные вами на уроке, мы проверим в ходе тестирования компьютерного и обычного.

Итак, начнем наш урок.

Тема урока: Первообразная.

Как вы понимаете, совершенно не случайно эпиграфом нашего урока выбраны слова ученого А. Ф. Киселёва: «Будущее за профессиями, способными работать в информационном обществе».

В ходе сегодняшнего урока вы познакомитесь с понятием интегрирования, узнаете, какая функция называется первообразной для данной функции.

Мы с вами установим основное свойство первообразной и рассмотрим его геометрический смысл; создадим таблицу первообразных и научимся использовать её в процессе нахождения первообразной для функции. Сегодня вы должны научиться, определять является ли данная функция первообразной для другой функции, приобрести навыки в нахождении первообразной.

1. Изложение нового материала.

1. Интегрирование.

( 2 Слайд).

Вспомним пример из механики. Если в начальный момент времени t=0 скорость тела равна 0, т.е. (0)=0при свободном падении тело к моменту времени t пройдет путь

(1).

Ф ормула (1) была найдена Галилеем экспериментально.

Дифференцированием находим скорость:

(2).

Второе дифференцирование дает ускорение:

(3)

т.е. ускорения постоянно.

Дифференцирование. Интегрирование.

Более типично для механики иное положение: известно ускорение точки a(t) (в нашем случае оно постоянно), требуется найти закон изменения скорости (t), а также найти координату S(t). Иными словами, по заданной производной ^/(t), равной a(t), надо найти (t), а затем по производной S^/ (t), равной (t), найти S(t).

Для решения таких задач служит операция интегрирования, обратная операция дифференцирования.

Восстановление функции по её производной будем называть интегрированием. А сама функция в этом случае называться первообразной.

Вопрос 1. Так какая первообразная у функции a(t), равной ускорению свободного падения g?

Ответ: (t)=g t .

Вопрос 2.Чему равна первообразная функции(t)=g t .?

Ответ: S (t) =

2. Определение первообразной.

(3 Слайд)

Дадим теперь определение первообразной.

Определение.

Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка

Решим устные упражнения: 1. Найти функцию F, если известно что

2. Вместо точек поставить какие-нибудь функции, удовлетворяющие следующим равенствам:

(слайд 4)

Рассмотрим примеры на нахождение первообразных.

Пример 1.

Функция есть первообразная для функции на интервале , так как для всех х€ .

Пример 2.

Тело движется по закону

доказать что скорость тела определяется формулой

Доказательство:

(t)= S^/ (t)=( - ) Что и т.д.

4.Основное свойство первообразной.

(5 Слайд).

Вопрос: Ребята, какая функция является первообразной для функции

Ответ: F(х) = sin x.

Вопрос:

А как вы считаете, функция будет являться первообразной для функции f(х)= cos x?

Ответ: Да, т.к. F^/ (x) = cos x.

Вопрос:

Так сколько первообразных имеет данная функция?

Ответ: бесконечное множество.

Вопрос:

В каком виде можно записать множество первообразных для данной функции.f(x)?

Ответ: F(x) +c.

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которая называется общим видом первообразной для функции f.В этом заключается основное свойство первообразной. Сформулируйте его.

Теорема: Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x)+c?, (1)

где F(x)- одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, с - произвольная постоянная.

Это значит, что какое бы число ни подставили в выражение (1) вместо с, получим первообразную для функции f на промежутке I. Рассмотрим доказательство сформулированной теоремы.

(6 слайд).

Доказательство.

По условию функция F- первообразная f на промежутке I.следовательно, для любой х € I, поэтому(F(x)+c)^/=F^/(x)+c^/=f(x) +0=f(x),т.е F(x) +c – первообразная для функции

5.Рассмотрим геометрический смысл основного свойства первообразной.

Он заключается в следующем: Графики любых двух первообразных для функции получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу.

(7 слайд)

На этих рисунках представлены графики первообразных для двух данных функций. Как в 1- м. так и во 2-м. случаях графики первообразных одной и той же функции получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси ординат.

6. Таблица первообразных.

Ребята, из личного опыта вы знаете, что очень удобно определять производную функций, используя таблицу простейших производных.

Существует таблица первообразных, с помощью которой легко определять первообразные функции.

(8 слайд).

Здесь представлена таблица первообразных для некоторых функций. Такие - же таблицы у каждого из вас на столе, вы можете пользоваться ими при нахождении первообразных.

Прокомментировать таблицу и решить по одному упражнению на каждую формулу.

1. Чему равен общий вид первообразных числа 3?

Ответ:3х+ с.

2. Чему равен общий вид первообразной функции х? Ответ: А х³?

3. Чему равен общий вид первообразной функции:

Ответ:

4. sin - -cos +c

a - -

5. cos x - -sin x + c

a 2 cos x - -2 sin x +c.

6.

7.

1. Закрепление изученного материала.

А теперь проверим, как вы усвоили материал сегодняшнего урока в ходе тестирования. 12 человек выполняют компьютерный тест, остальные отвечают на вопросы обычного теста, можно использовать при этом таблицу первообразных.

Напоминаю, выполняя, компьютерный тест вы делаете левый щелчок в окошке с верным на ваш взгляд ответом. После того как вы ответите, на все вопросы теста делайте щелчок в окошке с надписью «результат» и получаете оценку за тест, эту оценку вы записываете себе в тетрадь.

Остальные студенты выполняют тест обычно: выписывайте номера вопросов и буквами с правильными ответами к ним себе в тетрадь, по окончанию работы вы делаете самопроверку и сами выставляете себе оценку в тетрадь.

Исправления не допустимы.

На тест вам дается 4 минуты.

И так, начали.

Учитель следит за работой студентов и каждому выставляет оценку в ведомость.

(9 слайд)

Правильные ответы на вопросы теста.

1. Поведения итогов урока.

1. Общая оценка работы группы.

2. Оценка каждого за урок с комментариями.

1. Задания на дом:

(10 слайд .)

А теперь запишем задания на дом. Открываем все учебники на странице 174. п. 26, 27; №326(в),№ 328(в; г ),330(в),335(а; б)№337 (в).

Если останется время после теста можно решить следующие

примеры.

Пример 1. Найдите общий вид первообразных для функции

Решения: одной из первообразных функции является функция , так как В силу доказанной теоремы общий вид первообразных для функции f таков:

Пример 2. Найти для функции первообразную, график которой проходит через точку М(9; -2).

Решение:

Любая первообразная функции записывается в виде .Графики этих первообразных изображены на рисунке (б). Координаты точки М( 9;-2) графика искомой первообразной должны удовлетворять уравнению Отсюда находим, что с=-8.Следовательно, .

Пример 3.

№337(б)

Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значения в указанной точке: ,

Решения:

Любая первообразная функции записывается в виде . Графики этих первообразных расположены параллельно друг другу вдоль оси ОУ, но лишь один из них проходит через точку . Условие соответствует уравнению Отсюда или с=-1

Следовательно,

Литература

1. А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа 10-11», М, «Просвещение», 2000 год

2. ru.wikipedia.org/wiki/Первообразная

3. www.mathematics.ru/.../theory.html

4. naukoved.ru/content/view/772/44/