Меню
Разработки
Разработки  /  Алгебра  /  Уроки  /  9 класс  /  Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

12.08.2024

Содержимое разработки

Разработка урока в 9 классе по алгебре.

ТЕМА: «СУММА n ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ».

ЦЕЛИ УРОКА:

  1. Знать формулу n первых членов арифметической прогрессии.

  2. Уметь использовать формулу суммы при решении задач.

  3. Выработать навык решения задач с использованием формул суммы n первых членов арифметической прогрессии.



ОБОРУДОВАНИЕ К УРОКУ:

  1. Портрет К.Ф.Гаусса.

  2. Карточки устного счета.

  3. Карточки (с обратной стороны формула).

  4. Проверочная работа на карточках.

  5. Оценочные таблицы.



ЭПИГРАФ К УРОКУ:

Стевин писал: «мы приходим к выводу, что

не существует никаких абсурдных,

иррациональных, неправильных, необъяснимых

или глухих чисел, но что среди чисел

существует такое совершенство

и согласие, что нам надо размышлять

дни и ночи над их удивительной закономерностью».



ХОД УРОКА:

  1. Организационный момент.



Здравствуйте, ребята. Очень приятно видеть вас сегодня такими красивыми и сосредоточенными. Надеюсь, что наш урок будет результативным и плодотворным.

Сегодняшними помощниками будут являться оценочные таблицы, в которые вы должны будете вносить определенное количество баллов, за определенные моменты урока.

ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ


баллы

Свой балл

1.Устный счет.

1-3


2.Нахождение суммы.

1-5


3.работа по карточкам.

2


4.Проверочная работа.

3


5.Активность (осмысление)

2




  1. Устный счет.

Вы уже познакомились с числовыми последовательностями и умеете устанавливать закономерности. Предлагаю установить закономерность и продолжить последовательность:



а) 6, 8, 10, … 1)Назовите следующий член последовательности;

б) 25, 21, 17, … 2)Укажите закономерность;

3) Как называется данная последовательность?

4) Найдите 10-й член этой последовательности.

5)Как найти n-й член любой последовательности?

6) Найдите сумму первых двух (трех) чисел.



Давайте подведем итог и поставим баллы в оценочную таблицу.



  1. Новый материал.



Ребята, сегодня мы с вами будем изучать тему «Сумма n первых членов арифметической прогрессии», запишите тему в тетрадь.

У меня к вам будет несколько вопросов и заданий:



1.Какая числовая последовательность называется арифметической прогрессией? (Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией).



2.Назовите формулу n – го члена арифметической прогрессией. (

Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.

1+2+3+4+5+…+100 (Как вы получили данный результат?) (5050)



С этим заданием связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К.Ф.Гаусса. Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно: 1+2+3+…+40». Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил!» большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное. Вот схема его рассуждений: «сумма чисел в каждой пар равна 41



+1, 2, 3, 4, …, 40

40, 39, 38, 37, …, 1

----------------------------

41, 41, 41, 41, …, 41



Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41*20=820».



Что же, попробуем применить эти рассуждения для решения нашей задачи:



+S = 1+2+3+4+5+…+100

S = 100+99+98+97+96+…1

--------------------------------------

2S = 101+101+101+101+101+…+101

2S = 101*100

S = (101*100):2=5050

Какой вывод мы можем сделать?



Для того, чтобы найти сумму n первых членов арифметической прогрессии достаточно знать следующее…



Пусть (аn) – арифметическая прогрессия, а1, а2, а3, …, аn, …, где Sn – сумма n первых членов этой прогрессии.

Sn = a1 + a2 + … + an-1 + an

Запишем Sn двумя способами:

Sn = a1 + a2 + … + an-1 + an

Sn = an + an-1 + … + a2 + a1

По определению арифметической прогрессии эти равенства можно записать так:

+Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + … + (a1 + (n-1)d)

Sn = an + (an – d) + (an – 2d) + … + (an – (n-1)d)

------------------------------------------------------------

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an)

N слагаемых



Следовательно, 2Sn = (a1 + an) * n, откуда Sn =



Запишем данную формулу в тетрадь и подведем итог в оценочной таблице. Максимум тому, кто верно нашел сумму.



  1. Закрепление.



Достоверность этой формулы мы можем проследить в учебнике.



Закрепим данную формулу: найдем сумму шестидесяти первых четных натуральных чисел. ( an) – арифметическая прогрессия: 2, 4, 6, 8, …

a1 = 2 an = 2n = 2*60 = 120 = a60

n = 60 S60 =



Сейчас поработаем в группах, на карточках даны задания. Ваша задача найти сумму n первых членов арифметической прогрессии и занести свой ответ в карту ответов.

К – 1: a1 = 1, an = 20, n = 50 (S50 = 525)

К – 2: a1 = -1, an = -40, n = 20 (S20 = -410)

К – 3: a1 = 1, an = 200, n = 100 (S100 = 10050)

К – 4: a1 = 2, an = 100, n = 50 (S50 = 2550)

К – 5: a1 = -2, an = -60, n = 10 (S10 = -310)

К – 6: a1 = , an = 25 , n = 11 (S11 = 143)

К – 7: a1 = - , an = 13 , n = 8 (S8 = 52)

К – 8: a1 = 48, an = 3, n = 11 (S11 = 280,5)

К – 9: a1 = 7, an = 55, n = 13 (S13 = 403)

К – 10: a1 = 2, an = 80, n = 40 (S40 = 1640)

К – 11: a1 = 56, an = 26, n = 11 (S11 = 451)

К – 12: a1 = 3, an = 75, n = 15 (S15 = 585)

В результате заполнения карты ответов на обратной стороне появляется формула:



Sn =



Да, ребята, есть еще одна формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. Если в формулу Sn = подставить вместо an, формулу члена , то получим данную формулу.



Те, кто верно справился с заданием на карточках, заполнит оценочную таблицу, проставив баллы. Давайте попробуем закрепить нашу формулу: найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если а1 = -5, d = 0,5.

По условию а1 = -5, d = 0,5,n = 12, тогда по формуле Sn = находим

S12 =



  1. Проверочная работа.



Найдите сумму n первых членов арифметической прогрессии:



  1. Вариант: Найдите десятый член арифметической прогрессии и сумму ее первых десяти членов, если а1 = -8, d = 2.

а10 = а1 + 9d = -8+9*2=-8+18=10

S10 =



  1. Вариант: Найдите девятый член арифметической прогрессии и сумму ее первых девяти членов, если а1 = 2, d = -4.

а9 = а1 + 8d = 2-4*8=2-32=-30

S9 =



На обратной стороне доски записано решение. Проверьте свои результаты и оцените работу в оценочных таблицах.



  1. Домашнее задание.

§ 29 стр. 143 № 391, 392, 393(2)



  1. Итог урока.



Вопрос: Рассуждения какого ученого нам сегодня помогли?

Сколько формул существует для нахождения суммы?



Подведем итог нашей работы и внесем в последнюю графу свои баллы. Подсчитайте количество баллов и оцените работу: 13 – 15 –«5»

10 – 12 – «4»

7 – 9 – «3» Сдайте оценочные таблицы.





Приложение.







Карточки устного счета





6, 8, 10, …





25, 21, 17, …





Карточки с формулой на обороте и карта ответов



К – 5: a1 = -2, an = -60, n = 10

К – 11: a1 = 56, an = 26, n = 11

К – 1:

a1 = 1,

an = 20,

n = 50

К – 6:

a1 = , an = 25 , n = 11

К – 8:

a1 = 48, an = 3, n = 11

К – 4:

a1 = 2, an = 100, n = 50

К – 9:

a1 = 7, an = 55, n = 13

К – 2:

a1 = -1, an = -40, n = 20

К – 7:

a1 = - , an = 13 , n = 8

К – 12: a1 = 3, an = 75, n = 15

К – 3:

a1 = 1, an = 200, n = 100

К – 10: a1 = 2, an = 80, n = 40





Обратная сторона карточек







Sn =











Карта ответов



-310






451

525

143

280,5

2550

403






-410

52

585

10050

1640



Проверочная работа

  1. Вариант: Найдите десятый член арифметической прогрессии и сумму ее первых десяти членов, если а1 = -8, d = 2.



  1. Вариант: Найдите девятый член арифметической прогрессии и сумму ее первых девяти членов, если а1 = 2, d = -4.

Оценочный лист

ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ


баллы

Свой балл

1.Устный счет.

1-3


2.Нахождение суммы.

1-5


3.работа по карточкам.

2


4.Проверочная работа.

3


5.Активность (осмысление)

2


ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ


баллы

Свой балл

1.Устный счет.

1-3


2.Нахождение суммы.

1-5


3.работа по карточкам.

2


4.Проверочная работа.

3


5.Активность (осмысление)

2






Скачано с www.znanio.ru

-80%
Курсы повышения квалификации

Активизация основных видов деятельности учащихся на уроках математики в условиях реализации ФГОС в основной школе

Продолжительность 72 часа
Документ: Удостоверение о повышении квалификации
4000 руб.
800 руб.
Подробнее
Скачать разработку
Сохранить у себя:
Сумма n первых членов арифметической прогрессии (1.79 MB)

Комментарии 0

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или на сайт