Степенная функция. Свойства.

Тема урока:

Степенная функция и ее график.

у

Нам знакомы функции:

Парабола

у

у = х 2

Прямая

у = х

х

х

у

Все эти функции являются частными случаями степенной функции

у

х

х

у = х 3

Кубическая

парабола

Гипербола

Определение:

Степенной функцией называется функция вида

p

у = х

где р – заданное действительное число

Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень х р .

Степенная функция:

Показатель р = 2n – четное натуральное число у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 , у = х 8 , …

у

у = х 2

Функция у=х 2n четная,

т.к. (–х) 2n = х 2n

Функция убывает на

промежутке

0

1

х

Функция возрастает

на промежутке

Степенная функция:

Показатель р = 2n – четное натуральное число у = х 2 , у = х 4 , у = х 6 , у = х 8 , …

y

у = х 2

у = х 4

у = х 6

- 1 0 1 2

x

Степенная функция:

Показатель р = 2n-1 – нечетное натуральное число у = х 3 , у = х 5 , у = х 7 , у = х 9 , …

Функция у=х 2n-1 нечетная,

т.к. (–х) 2n-1 = – х 2n-1

0

1

Функция возрастает на

промежутке

Степенная функция:

Показатель р = 2n-1 – нечетное натуральное число у = х 3 , у = х 5 , у = х 7 , у = х 9 , …

y

у = х 3

у = х 5

у = х 7

- 1 0 1 2

x

Степенная функция:

Показатель р = -2n – где n натуральное число у = х -2 , у = х -4 , у = х -6 , у = х -8 , …

Функция у=х- 2n четная,

т.к. (–х) -2n = х -2n

Функция возрастает на

промежутке

1

0

Функция убывает

на промежутке

Степенная функция:

Показатель р = -2n – где n натуральное число у = х -2 , у = х -4 , у = х -6 , у = х -8 , …

y

у = х -2

у = х -4

у = х -6

- 1 0 1 2

x

Степенная функция:

Показатель р = -(2n-1) – где n натуральное число у = х -3 , у = х -5 , у = х -7 , у = х -9 , …

Функция у=х -(2n-1) нечетная,

т.к. (–х) –(2n-1) = –х –(2n-1)

Функция убывает на

промежутке

1

0

Функция убывает

на промежутке

Степенная функция:

Показатель р = -(2n-1) – где n натуральное число у = х -3 , у = х -5 , у = х -7 , у = х -9 , …

y

у = х -1

у = х -3

у = х -5

- 1 0 1 2

x

Степенная функция:

Показатель р – положительное действительное нецелое число у = х 1,3 , у = х 0,7 , у = х 2,2 , у = х 1/3 ,…

у

Функция возрастает на

промежутке

х

1

0

Степенная функция:

Показатель р – положительное действительное нецелое число у = х 1,3 , у = х 0,7 , у = х 2,2 , у = х 1/3 ,…

y

у = х 0,84

у = х 0,7

у = х 0,5

x

- 1 0 1 2

Степенная функция:

Показатель р – положительное действительное нецелое число у = х 1,3 , у = х 0,7 , у = х 2,2 , у = х 1/3 ,…

y

у = х 3,1

у = х 2,5

у = х 1,5

- 1 0 1 2

x

Степенная функция:

Показатель р – отрицательное действительное нецелое число у= х -1,3 , у= х -0,7 , у= х -2,2 , у = х -1/3 ,…

у

Функция убывает на

промежутке

х

1

0

Степенная функция:

Показатель р – отрицательное действительное нецелое число у= х -1,3 , у= х -0,7 , у= х -2,2 , у = х -1/3 ,…

y

у = х -2,3

у = х -3,8

у = х -1,3

у = х -0,3

- 1 0 1 2

x