Признаки равенства прямоугольных треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник
- Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.
C = 90°
A + B = 90°
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 °.
- Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу называется гипотенузой.
- Две другие стороны называются катетами.
по двум сторонам и углу между ними
Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
острому углу
по стороне и двум
прилежащим к ней углам
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- по катету и прилежащему острому углу
по стороне и двум прилежащим к ней углам
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- по катету и противолежащему острому углу
по стороне и двум прилежащим углам
Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
по двум катетам
по гипотенузе и катету
по гипотенузе и острому углу
по катету и
противолежащему
острому углу
по катету и
прилежащему
острому углу
Дано: B = D = 90°
BC || AD
Доказать: ABC = CDA .
1) Рассмотрим ABC и CDA
- треугольники прямоугольные по условию;
- AC - общая гипотенуза;
- BCA = CAD - т. к. они внутренние накрест лежащие
при параллельных прямых BC и AD и секущей AC .
по гипотенузе и острому углу
2) ABC = CDA
Из точки D , лежащей на биссектрисе A, опущены перпендикуляры DB и DC на стороны угла. Докажите, что A D B = AD C.
Дано: AD - биссектриса A
DB AB, DC AC.
Доказать: A D B = AD C.
1) Рассмотрим A D B и AD C.
- треугольники прямоугольные т. к. DB AB, DC AC .
- AD - общая гипотенуза.
- BAD = CAD т. к. AD - биссектриса A.
2) A D B = AD C по гипотенузе и острому углу .
Дано: C = D = 90°
AD = BC
Доказать: ABC = BAD .
- Рассмотрим ABC и BAD .
- треугольники прямоугольные т. к. C= D=90°.
- AD = BC
- AB - общая гипотенуза
2) ABC = BAD
по гипотенузе и катету
Дано: AB BC ; CD BC ;
O - середина AD ;
AB = 3 см.
Найти: CD .
1) Рассмотрим ABO и DCO.
• треугольники прямоугольные т. к. AB BC и CD BC .
• AO = OD т. к. O - середина AD.
• AOB = DOC как вертикальные.
2) ABO = DCO по гипотенузе и острому углу .
3) Из равенства треугольников следует AB = CD = 3 см.
CD = 3 см.
Домашнее задание.
Устно : формулировки признаков .
Письменно:
Дано: DA AB
FB AB
BD = AF
Доказать: ABD = BAF
№ 1.
№ 2. Докажите, что два равнобедренных прямоугольных треугольника равны, если равны их гипотенузы.
№ 3 Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, опущенной на гипотенузу.
Сколько существует внешних углов при одной вершине ?
1
3
2
4
B
30 º
70 º
?
D
A
C
70 º
30 º
100 º
80 º
B
?
100 º
D
A
C
50 º
80 º
40 º
20 º
B
40 º
D
A
C
?
K
70 º
40 º
140 º
130 º
Свойство катета, лежащего против угла в 30 .
BC = AB
Катет, лежащий против угла в 30 , равен половине гипотенузы.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30 ° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.
Дано: ABC
C = 90° , B = 30° .
Доказать: АС = АВ.
1) Построим DBC = ABC , как показано на рисунке.
2) ABC - равносторонний, так как все его углы равны
60 ° и AB = BD = AD .
3) AC = AD или AC = AB .
В равнобедренном треугольнике угол, противолежащий основанию, равен 120 °, а медиана, проведенная к основанию, равна 3 см. Найдите углы при основании и боковые стороны треугольника.
Дано: ABC - равнобедренный
с основанием AC ;
B =120° ;
BD - медиана; BD = 3 см.
Найти: A, C, AB и BC.
1) ABC - равнобедренный по условию .
BD - медиана, биссектриса и высота.
по условию .
BD - медиана, биссектриса и высота.
60 º
60 º
30 º
2) AB D = CB D = 120° : 2 = 60 ° т. к. BD - биссектриса .
3 ) AB D - прямоугольный т. к. ADB = 90°.
4 ) A + AB D = 90° как острые углы прямоугольного треугольника .
A = 90° - 60° = 30°.
5 ) BD = AB по свойству катета, лежащего против угла в 30°.
AB = 3 • 2 = 6 см. AB = BC = 6 см.
6) A = C = 30° как углы при основании равнобедренного
треугольника.
A = C = 30° ; AB = BC = 6 см.
по двум катетам
по гипотенузе и катету
по гипотенузе и острому углу
по катету и
противолежащему
острому углу
по катету и
прилежащему
острому углу
Докажите, что у равных треугольников высоты, проведенные из соответствующих вершин, равны.
Дано: ABC = A 1 B 1 C 1
BD AC, B 1 D 1 A 1 C 1
Доказать: BD = B 1 D 1 .
- Рассмотрим ABD и A 1 B 1 D 1 .
- треугольники прямоугольные т. к. BD AC и B 1 D 1 A 1 C 1 .
- AB = A 1 B 1 из равенства
- A = A 1 ABC = A 1 B 1 C 1
2) ABD = A 1 B 1 D 1 по гипотенузе и острому углу.
3) Из равенства треугольников следует BD = B 1 D 1 .
Докажите, что сумма трех внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360 º .
Домашнее задание.
Устно : формулировки признаков и формулировка
задачи №43.
Письменно:
c
Дано: a | | b ; с – секущая; ∠ 3 больше суммы ∠ 1 + ∠ 2 в 4 раза.
Найти все образовавшиеся углы.
№ 1.
1
a
2
b
3
№ 2. Докажите, что равносторонние треугольники равны, если равны их высоты.
№ 3. Докажите равенство остроугольных треугольников по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.
Свойство катета, лежащего против угла в 30 .
BC = AB
Катет, лежащий против угла в 30 , равен половине гипотенузы.
Получите свидетельство
Вход
Признаки равенства прямоугольных треугольников (0.67 MB)
0
3512
58
Нравится
0
