Методическая разработка по математике "Решение задач с помощью графов"

Введение.

Как известно, одной из центральных линий математической подготовки учащихся является линия «Уравнения», методы их решения, решение задач с помощью уравнений и систем уравнений.

Решения текстовых задач - это деятельность, сложная для учащихся. Сложность ее определяется, прежде всего, комплексным характером работы: нужно ввести переменную и суметь перевести условие на математический язык; соотнести полученный результат с условием задачи и, если нужно, найти значения еще каких-то величин. Каждый из этих этапов – самостоятельная и часто трудно достижимая для учащихся задача.

Данная программа составлена для работы с учащимися седьмых, восьмых, девятых классов, которые желают овладеть новым и эффективным способом решения текстовых задач на «движение», «стоимость», «совместную работу», «заполнение резервуара водой» и т. д.

Моделирование условия задачи с помощью сетевых графов позволяет ученику устанавливать различные связи и отношения между данными и искомыми величинами задачи, осознать идею решения, его логику, увидеть различные способы решения задачи, обосновывать выбор величин для введения переменных.

Составление графов становится для школьников увлекательным занятием и значительно повышает интерес к изучению темы курса алгебры «Решение задач с помощью уравнений». Деятельность учащихся приобретает более целенаправленный характер и, что самое важное, появляется самостоятельность на этапе поиска путей решения задачи, который, как известно, вызывает всегда большие затруднения.

Цель данной программы:

1) познакомить учащихся с новым способом решения текстовых задач - сетевым графом;

2) научить составлять уравнение по условию задачи, описывать выбор переменных уравнения; составлять и обосновывать выбор ответа.

Задачи:

1. Приобщить учащихся к работе с математической литературой.

2. Научить составлять математическую модель текстовой задачи, пере ходить от этой модели к ответам задачи, анализируя жизненную ситуацию текста задачи.

Программа предполагает знакомство учащихся с новым методом анализа и записи условия задачи, поиска пути составления уравнения. Включенный в курс материал может применяться для различных категории учащихся, так как он изложен понятным языком, простой формой записи схемы, обобщенностью и простотой алгоритма работы с текстом.

Контроль за степенью усвоения тем осуществляется уже при поэтапной работе по алгоритму, по построению сетевого графа, что позволяет установить степень достижения промежуточных результатов и итогового вывода – непосредственно уравнения, а также увидеть сбой в рассуждениях, в работе по алгоритму в любой момент процесса обучения.

1. Программа элективного курса.

- Содержание обучения.

Вводное занятие.

Осуществляется знакомство с алгоритмом анализа условия и построения сетевого графа; повторяются основные соотношения, используемые в задачах: S = vt, А = pt и т. п., поясняется суть терминов, используемых в алгоритме.

Тема: Решение арифметических задач.

На примере арифметических задач «на движение», «работу», «стоимость» определяются основные приемы построения и работы с сетевым графом

Тема: Решение задач на составление уравнений.

Рассматриваются алгебраические задачи на движение «в направлении», «по воде», «на совместную работу», «заполнение резервуара водой», «покупку» и т.п.

- Тематическое планирование.

1. Вводное занятие: что такое граф 

2. Решение арифметических задач 

Решение задач на составление уравнений: 

3. 1) «На движение» 

4. 2) «На совместную работу» 

5. 3) Различных алгебраических задач (на стоимость и т.д.) 

6. «Круглый стол» (зачет)

- Требования к уровню усвоения курса

Курс предназначен для учащихся 7-х, 8-х и 9-х классов, рассчитан на 8,5 часов аудиторного времени. Курс призван помочь учащемуся в овладении навыком решения задач с помощью уравнений и систем уравнений, повысить уровень общей математической культуры, оценить свой потенциал для дальнейшего обучения в профильной школе.

Учащиеся будут уметь:

1. Анализировать условие текстовой задачи, выявлять главное в тексте.

2. Обосновывать выбор переменной при составлении уравнения.

3. Решать полученные уравнения рациональным способом.

Знать:

1. Соотношения; показывающие связь между элементами в задачах на «движение», «работу».

Весь материал - в документе.

Методическая разработка

Решение текстовых задач

с помощью графов

Содержание

Введение

1. Программа элективного курса

• Содержание обучения

• Требования к уровню освоения курса

• Тематическое планирование

• Разбор задач

1. Примерный обобщающий тест

2. План урока на тему «Решение задач с помощью уравнений»

3. Заключение

Литература

Введение

Как известно, одной из центральных линий математической подготовки учащихся является линия «Уравнения», методы их решения, решение задач с помощью уравнений и систем уравнений.

Решения текстовых задач - это деятельность, сложная для учащихся. Сложность ее определяется, прежде всего, комплексным характером работы: нужно ввести переменную и суметь перевести условие на математический язык; соотнести полученный результат с условием задачи и, если нужно, найти значения еще каких-то величин. Каждый из этих этапов – самостоятельная и часто трудно достижимая для учащихся задача.

Данная программа составлена для работы с учащимися седьмых, восьмых, девятых классов, которые желают овладеть новым и эффективным способом решения текстовых задач на «движение», «стоимость», «совместную работу», «заполнение резервуара водой» и т. д.

Моделирование условия задачи с помощью сетевых графов позволяет ученику устанавливать различные связи и отношения между данными и искомыми величинами задачи, осознать идею решения, его логику, увидеть различные способы решения задачи, обосновывать выбор величин для введения переменных.

Составление графов становится для школьников увлекательным занятием и значительно повышает интерес к изучению темы курса алгебры «Решение задач с помощью уравнений». Деятельность учащихся приобретает более целенаправленный характер и, что самое важное, появляется самостоятельность на этапе поиска путей решения задачи, который, как известно, вызывает всегда большие затруднения.

Цель данной программы:

1) познакомить учащихся с новым способом решения текстовых задач - сетевым графом;

2) научить составлять уравнение по условию задачи, описывать выбор переменных уравнения; составлять и обосновывать выбор ответа.

Задачи:

1. Приобщить учащихся к работе с математической литературой.

1. Научить составлять математическую модель текстовой задачи, пере ходить от этой модели к ответам задачи, анализируя жизненную ситуацию текста задачи.

Программа предполагает знакомство учащихся с новым методом анализа и записи условия задачи, поиска пути составления уравнения. Включенный в курс материал может применяться для различных категории учащихся, так как он изложен понятным языком, простой формой записи схемы, обобщенностью и простотой алгоритма работы с текстом.

Контроль за степенью усвоения тем осуществляется уже при поэтапной работе по алгоритму, по построению сетевого графа, что позволяет установить степень достижения промежуточных результатов и итогового вывода – непосредственно уравнения, а также увидеть сбой в рассуждениях, в работе по алгоритму в любой момент процесса обучения.

1. Программа элективного курса

• СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ

Вводное занятие

Осуществляется знакомство с алгоритмом анализа условия и построения сетевого графа; повторяются основные соотношения, используемые в задачах: S = vt, А = pt и т. п., поясняется суть терминов, используемых в алгоритме.

Тема: Решение арифметических задач

На примере арифметических задач «на движение», «работу», «стоимость» определяются основные приемы построения и работы с сетевым графом

Тема: Решение задач на составление уравнений

Рассматриваются алгебраические задачи на движение «в направлении», «по воде», «на совместную работу», «заполнение резервуара водой», «покупку» и т.п.

• ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

• ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ УСВОЕНИЯ КУРСА

Курс предназначен для учащихся 7-х, 8-х и 9-х классов, рассчитан на 8,5 часов аудиторного времени. Курс призван помочь учащемуся в овладении навыком решения задач с помощью уравнений и систем уравнений, повысить уровень общей математической культуры, оценить свой потенциал для дальнейшего обучения в профильной школе.

Учащиеся будут уметь:

1. Анализировать условие текстовой задачи, выявлять главное в тексте.

1. Обосновывать выбор переменной при составлении уравнения.

2. Решать полученные уравнения рациональным способом.

Знать:

1. Соотношения; показывающие связь между элементами в задачах на «движение», «работу».

2. Ориентировочные основы поиска путей решения задачи.

• МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, как они устроены, из каких частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых проводится решение задач.

Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. поэтому, приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательно изучить, установить, в чем состоят ее требования (вопросы), каковы условия, исходя из которых надо решать задачу. Результаты предварительного анализа задачи надо как-то зафиксировать, записать. Схематическая запись задачи должна быть удобна, компактна и в то же время достаточно наглядна. Первой отличительной особенностью схематичной записи задач является широкое использование в ней разного рода обозначений, символов, букв, рисунков, чертежей и т.д. Второй особенностью является то, что в ней четко выделены все условия и требования задачи, а в записи каждого условия указаны объекты и их характеристики, наконец, в схематичной записи фиксируется лишь то, что необходимо для решения задачи, все другие подробности отбрасываются. Эти положения соблюдены в сетевых графах.

Чтобы обеспечить возможность решать задачу с необходимыми объяснениями и в определенной последовательности, дается список указаний. Этот список предлагается или в готовом виде, или составляется вместе с классом:

1. О каком процессе идет речь в задаче?

2. Какие величины характеризуют этот процесс?

3. Каким соотношением связаны эти величины?

4. Сколько различных процессов описывается в этой задаче?

5. Есть ли связь между элементами?

Отвечая на эти вопросы (вопросник этот висит на стенде в кабинете, записан на закладках или обложках тетрадей учащихся), ученики анализируют условие задачи, записывают его схематично. Эта схема - сетевой граф. Осталось добавить; что таким способом можно решать текстовую задачу, величины которой связаны соотношением А = В х С, т. е. задачи, которые решаются учащимися с трудом: задачи на движение, на совместную работу, заполнение резервуара водой и т.п.

• РАЗБОР ЗАДАЧ

Задача №1

Расстояние между деревнями Ельня и Сосновка равно 30 км. Изобразите дорогу между этими деревнями в виде шкалы, деления которой обозначают 3 км. Покажите на этой шкале, где окажется через 1час, через 2 часа после выхода пешеход, идущий из Ельни в Сосновку со скоростью 6 км/ч. Покажите, где он окажется через 3 часа после выхода, через 4 часа, через 5 часов?

При ответе на поставленные вопросы получается удобным повторение следующих моментов:

1. расстояние между двумя пунктами удобнее всего изображать в виде отрезка, само же расстояние, как число, есть длина этого отрезка;

2. Что такое скорость? Скорость движения - это· расстояние, которое проходит человек за единицу времени (1 ч, 1 мин и т. п.). Есть общепринятые обозначения терминов – расстояние (пройденный путь), скорость движения, время: S, ν, t.

Нарисовали шкалу, обозначили начало отсчета Е и С - точку, соответствующую числу 30, разбили отрезок ЕС делениями (штрихами) ценой 3 км. Говоря о движении, мы имеем ввиду, что три величины характеризуют этот процесс: путь S, скорость ν, время t. Где был пешеход через 1 час после выхода? Это расстояние, которое прошел пешеход за 1 час, или скорость движения пешехода. Последний вопрос: где оказался пешеход через 5 ч? Делаем вывод: чтобы найти путь S, надо скорость движения умножить на время нахождения в пути. Записываем формулу S = ν·t, повторяем, как найти скорость, зная расстояние и время движения, как найти время, зная расстояние и скорость движения.

Задача №2

Машина прошла первый участок пути за 3 ч, а второй участок за 2 ч. Длина обоих участков вместе 267 км. С какой скоростью шла машина на каждом участке, если скорость на втором участке была на 8,5 км/ч больше, чем на первом?

Построим сетевой граф. Для применения уже выработанного алгоритма решения задачи нет выполнения условия – по ребру сетевого графа два незаштрихованных кружочка.

Кружочек надо заштриховать, т. е. ввести переменную величину х, обозначив ею любой из незаштрихованных кружочков. Например: ν₁ = х км/ч, тогда ν₂ = х + 8,5 км/ч, S₁ = 3х км/ч, шагая по ребру 2, S₂ = 2(х + 8,5) км по ребру 3; кружки при этом заштриховываются редкой полоской.

По неиспользованному ребру 4 и составляется уравнение к задаче

3х + 2(х + 8,5) = 267

Используя сетевой граф, уже легко объяснить (описать) составление уравнения по условию задачи, и слово «пусть» никого пугать не будет. Пусть на первом участке пути машина шла со скоростью х км/ч, тогда на втором участке скорость была (х + 8,5) км/ч. За 3 ч машина прошла 3х км, за 2 ч - 2(х + 8,5) км. Длина всего пути 267 км или 3х + 2(х + 8,5) км. Составим уравнение: 3х + 2(х + 8,5) = 267.

На первых порах естественным будет при записи объяснения пройтись еще раз по сетевому графу в той последовательности, в которой заштриховывались кружки.

Задача №3

Автобус шел 2 ч со скоростью 45 км/ч и 3 ч со скоростью 60 км/ч. Какой путь прошел автобус за эти 5 ч?

Все записи на сетевом графе делаются простым карандашом от руки, можно использовать ластик для корректирования. В левом столбце предлагаемой ниже таблицы описываются действия учителя и учащихся (вопросы, ответы, комментарии), в правой – сетевой граф, который параллельно вычерчивается на доске и в тетрадях:

На доске и в тетрадях получился сетевой граф к задаче. Чтобы решить задачу, надо заштриховать все кружки. Каждая линия, а их три, называется ребром. Принцип заполнения (штриховки) кружков: зная (имея) два заштрихованных кружка на одном ребре, найти (заштриховать) третий. Те кружки, которые мы заполняем, решая задачу, штрихуются редкой полоской от руки.

Поясняем: первое ребро – _, ν₁ = 45 км/ч, t₁= 2 ч. Можно найти S,? Можно обратиться к формуле, записанной правее: S₁= 45·2 = 90 (км) И заштриховать кружок S_l; перечеркиваем использованное ребро. Аналогично второе ребро и величина S₂. Остается третье, «вертикальное» ребро, в котором уже заштрихованы два кружка S_I и S₂, И значит, можно заштриховывать кружок S_I + S₂. Рассуждая так, параллельно ведется запись решения задачи с обязательным пояснением к каждому действию. Теперь работа ученика выглядит так:

45 х 2 = 90 (км) - прошел автобус за 2 ч.

60 х 3 = 180 (км) - прошел автобус за 3 ч.

90 + 180 = 270 (км) - прошел автобус за 5 ч.

Ответ: 270 км.

В учебнике есть аналогичные задачи, можно рассмотреть такую же в классе и задать на дом. Считаю обязательным проверить сетевой граф на следующем уроке с помощью кодоскопа, устно проpaботав его, или вызвав желающего к доске. дать ему возможность начертить сетевой граф, отвечая на вопросы.

Задача №4

Бригада рабочих должна была за определенный срок изготовить 768 пылесосов. Первые пять дней бригада выполняла ежедневно установленную норму, а затем каждый день изготовляла на 6 пылесосов больше, чем намечалось, поэтому уже за день до срока было изготовлено 844 пылесоса. Сколько пылесосов в день должна была изготовлять бригада по плану?

1. В задаче .идет речь о работе.

2. Выполненная работа – А, производительность k и время работы t.

3. А = k·t.

4. В задаче описаны три вида работы: работа по плану, а фактическая работа состоит из двух «частей» - первые 5 дней с прежней производительностью и остальная часть работы с увеличенной производительностью.

Задача №5

Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется на 9 ч больше времени, чем при наполнении через первую и вторую трубы вместе, и на 7 ч меньше, чем через одну вторую трубу. За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?

1. В задаче речь идет о работе.

2. Выполняемая работа - А (заполненный бассейн), про изводи­тельность k, (количество воды, протекающей ,через трубу за единицу времени), время работы t.

3. А = k·t.

4. В задаче описаны три работы: работа каждой трубы по от­дельности и обеих одновременно.

t_B-t₁-k₁-t₂-k₂-k₁-k_B=k₁+k₂

Получили уравнение: _.

Задача №6

Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объем земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, сможет выполнить этот объем работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объема земляных работ?

Здесь пригодится тот вопросник, который был по казан в начале работы:

1. О каком процессе идет речь в задаче? - О работе.

2. Какие величины характеризуют этот процесс? - Работа, про­изводительность, время.

3. Каким соотношением связаны эти величины? - А = k · t.

4. Сколько различных процессов описывается в задаче? - Два: работы двух экскаваторов в отдельности и их совместная работа.

5. Есть ли связь между одноименными элементами? - Да, это связь между временем выполнения работы первого и второго экскаватора.

Сетевой график в данном случае будет выглядеть так

Уравнение к задаче составляем по нижнему, «горизонтальному» ребру графа:

Его решением будут числа 6 и -2,5, последнее из которых отбрасываем ввиду того, что время – величина положительная.

Время, за которое второй экскаватор выполнит этот же объем работ, равно 10 ч.

Ответ: 6 ч, 10 ч.

1. Бланк ответов к обобщающему тесту
   Ф.И.О.______________ __________________		Вариант ____________
   1	2	3	4

   Примерный обобщающий тест

Ответами на задания теста должно быть целое число или десятичная дробь, которые необходимо занести в бланк ответов:

Правильные ответы:

1. План урока на тему «Решение задач с помощью уравнений»

(7 класс)

Цель урока: формирование умения использовать аппарат уравнений как средство для решения текстовых задач

План урока:

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания (фронтально)

Опрос учащихся у доски №163(1), №164 (2)

1. Актуализация опорных знаний

1. Математический диктант (под копирку, с последующей проверкой)

Заслушать ответы учащихся, работавших у доски №163(1), №164 (2), проверить математический диктант

1. Изложение нового материала:

Решить задачу - значит найти неизвестное число, о котором говорится в ее условии. Этим числом могут быть: цена, числовые значения периметра, площади, скорости, длины пути и т.п.

Применение уравнений позволяет упростить решение многих задач

Решение задачи с помощью уравнения осуществляется отдельными шагами:

1. Неизвестное число обозначают буквой, например х (чаще всего это число, которое надо найти).

2. Устанавливают зависимость, которая существует между неизвестным числом, обозначенным буквой х, и другими числами, заданными в условии задачи.

Эта зависимость записывается уравнением.

1. Решают уравнение.

2. Отвечают на вопрос задачи.

Для примера можно рассмотреть решение задач:

1. Закрепление нового материала

№№ 143, 145, 152 – с записью на доске и в тетрадях;

№ 144 – самостоятельно с последующей проверкой

1. Решение задач с помощью таблиц или графов

№№ 154, 155

1. Тренировочные упражнения

№№ 156, 157

1. Подведение итогов урока

2. Сообщение домашнего задания

П. 8 (контрольные вопросы), №№ 148, 151, 153, 165.

Заключение

Среднее (полное) общее образование - завершающая ступень общего образования, призванная обеспечить функциональную грамотность и социальную адаптацию обучающихся. Эти функции определяют направленность целей на формирование социально грамотной и социально мобильной личности, осознающей свои гражданские права и обязанности, ясно представляющих себе потенциальные возможности, ресурсы и способы реализации выбранного жизненного пути. Эффективная реализация указанных целей возможна при введении профильного обучения, которое является «системой специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательных школ, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования».

Переход к профильному обучению постепенный. Этому способствуют и элективные курсы - обязательные курсы по выбору учащихся из компонента общеобразовательного учреждения, входящие в состав профиля обучения.

Элективные курсы, как составная часть предпрофильной подготовки, выполняют несколько функций:

- надстройки профильного курса, когда такой дополненный профильный курс становится в полной мере углубленным;

- расширяют содержание одного из базисных курсов, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет получить дополнительную подготовку для сдачи ЕГЭ по выбранному предмету, в данном случае, по математике;

- способствуют удовлетворению познавательных интересов в различных областях деятельности человека.

Профильное обучение в старших классах стало требованием времени, но переход к нему достаточно труден. Как учащимся и родителям выбрать нужный профиль? Что поможет сделать осознанный выбор профиля, соответствующего способностям и интересам?

Элективные курсы, проводимые в 8-9 классах, способствуют интенсификации образовательного процесса в целом и призваны помочь профессиональному ориентированию и самоопределению школьников.

Курс «Решение задач с помощью графов» содержит программу, тематическое планирование и рекомендации по проведению занятии. Курс «Решение задач с помощью графов» способствует углублению знаний о способах решения тестовых задач знакомит с эффективным способом решения - сетевым графом. К данному курсу подобраны задания для самостоятельной работы, задачи повышенной трудности с решениями, ответами и дополнительными указаниями.

Анализ подготовки выпускников

11-х классов в 2008-2009 уч.году Красновой О.Е.

1. Таблица

   ФИО педагога, предмет	Квалификация	Стаж	Классы	Кол. учащихся, сд. ЕГЭ	Проф-й или непроф.	Ср. балл по школе	Ср. балл у данного педагога	Ср. балл по городу среди лицеев
   Краснова О.Е.	вторая	14	11 а 11 ф	16 21	Непроф. Непроф.	61,19	57,125 55,8	65

2. Диаграммы

1. На диаграмме видно, что средний балл 11а класса и 11ф класса оказался ниже среднего балла по городу среди лицеев, это связано с тем, что профили этих классов гуманитарные и результаты ЕГЭ по математике для выпускников не являлись решающими для поступления в ВУЗы. Несмотря на это, результаты ЕГЭ по математике выше, чем средний балл по ОУ г. Чебоксары.

Литература

1. Математика: учебник для 5 кл. сред. шк. / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов и др. - М: Просвещение. 2008.

2. Алгебра: учеб. для 7, 8, 9 кл. общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев и др.; под ред. С. А. Теляковского. - М.: Просвещевие,2009.

З. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров и др. - М.: Просвещение, 2005

4. Ткачук, В. В. Математика - абитуриенту. – 15-е изд., исправленное и дополненное. М.: МЦНМО, 2008..

5. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: учеб. пособие / под ред. М. И. Сканави. - М.: Столетие, 1997.

6. Кузнецова. Л. В. Алгебра: сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. - М.: Дрофа, 2002.

7. http://wiki.iteach.ru/index.php/Решение задач на работу с помощью сетевого графа