Правильные многогранники

Посмотрите на следующие пять многогранников.

Они являются правильными, так как у каждого из них все грани – одинаковые правильные многоугольники, в каждой вершине одного многоугольника сходится одно и то же число рёбер, а соседние грани сходятся под равными углами.

Правильный тетраэдр – многогранник, составленный из 4 правильных треугольников.

Куб – многогранник, составленный из 6 квадратов.

Правильный октаэдр – многогранник, составленный из 8 правильных треугольников.

Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из 12 правильных пятиугольников.

Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из 20 правильных треугольников.

Давайте составим таблицу, в которую запишем число вершин, рёбер и граней у каждого многогранника. Затем для каждого многогранника найдём число, равное числу вершин плюс число граней минус число рёбер.

Тетраэдр. У него 4 вершины, 4 грани и 6 рёбер.

Куб. У него 8 вершин, 6 граней и 12 рёбер.

Октаэдр. У этого многогранника 6 вершин, 8 граней и 12 рёбер.

Додекаэдр. У него 20 вершин, 12 граней и 30 рёбер.

Икосаэдр. У этого многогранника 12 вершин, 20 граней и 30 рёбер.

Заполним последний столбец таблицы. Найдём число, равное числу вершин плюс число граней минус число рёбер.

Обратите внимание, что в последнем столбце таблицы для всех многогранников получился один и тот же результат – два.

Число вершин, граней и рёбер связано таким соотношением не только у правильных, но и у всех других многогранников. Вы можете проверить это для любых взятых наугад многогранников.

Это соотношение называется формулой Эйлера.

Его доказал математик Леонард Эйлер. Этот величайший учёный родился в Швейцарии, но почти полжизни провёл в России. Он внёс огромный вклад в становление русской науки. В 1750 году Леонард Эйлер установил связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников. Это заложило фундамент нового раздела математики – топологии.

Рассмотрим ещё одну особенность правильных многогранников.

Тетраэдр. Если центры его граней считать вершинами нового многогранника, то мы снова получим тетраэдр.

Теперь давайте сразу возьмём куб и октаэдр. Заметим, что если центры граней куба считать вершинами нового многогранника, то получим октаэдр, а если центры граней октаэдра считать вершинами нового многогранника, то получим куб.

Аналогично для додекаэдра и икосаэдра. Если центры граней додекаэдра считать вершинами нового многогранника, то получим икосаэдр, а если центры граней икосаэдра считать вершинами нового многогранника, то получим додекаэдр.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Совершенные формы и математические закономерности, присущие правильным многогранникам, являлись причиной того, что им приписывались различные магические свойства. Все 5 геометрических фигур (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр) издавна были спутниками волшебников и звездочётов.

Сейчас вы видите развёртки эти многогранников.

Если вы потрудитесь над их изучением, то сможете изготовить модели многогранников из бумаги.

Если сделать такие модели из цветной бумаги, то у вас получатся геометрические игрушки, которые вы можете использовать как украшение для новогодней ёлки.