Геометрические головоломки

Для решения головоломок нам понадобится не только знание геометрии, но и хорошее воображение. Хорошее воображение – это качество, которое необходимо в равной мере и математику, и поэту. Великий французский просветитель Вольтер сказал: «В голове у Архимеда было гораздо больше воображения, чем в голове у Гомера».

Давайте выполним задание. Выясним, на что пойдёт больше краски: на окрашивание квадрата или необычного кольца, которые изображены на рисунке.

Решение.

На окрашивание квадрата пойдёт столько же краски, сколько и на окрашивание кольца.

Среди геометрических головоломок встречается множество занимательных задач на разрезание квадрата.

Возьмём квадрат размером  клеток.

Разрежем его на 7 частей вот таким образом…

Получилось 2 больших треугольника, 2 маленьких и 1 средний, а также 2 четырёхугольника, один из которых – квадрат.

Это популярная китайская головоломка танграм. Каждый из 7 элементов называют таном.

В Китае головоломку называют «чи чао ту», что означает «умственная головоломка из семи частей». Доказательством тому, что головоломку действительно изобрели в Китае, служит первая известная книга о танграме «Собрание фигур из семи частей». Название «танграм» возникло в Европе, скорее всего, от слова «тань» (что означает «китаец») и корня «грамма» (в переводе с греческого означает «буква»).

Головоломку вы можете изготовить самостоятельно. Для этого переведите на плотную бумагу квадрат, разделённый на семь частей, и разрежьте его.

Суть игры заключается в конструировании на плоскости из семи элементов различных более сложных фигур, которые обычно задаются в виде силуэта или внешнего контура.

В каждую собираемую фигуру должны войти все 7 элементов танграма. При составлении фигуры элементы не должны накладываться друг на друга. Также элементы фигуры должны примыкать один к другому.

Отметим, что удобнее начинать складывать фигуру с самого большого треугольника.

Используя все 7 элементов танграма, составьте фигурки, которые изображены на рисунке. Также вы можете попробовать придумать свою фигурку, используя все 7 частей головоломки.

В танграме среди его 7 частей уже есть треугольники разных размеров, но из его частей можно ещё складывать различные треугольники.

Сложим треугольник, используя 4 части танграма. Возьмём 1 большой треугольник, 2 маленьких треугольника и квадрат.

Теперь возьмём 1 большой треугольник, 1 средний треугольник и 2 маленьких треугольника и сложим из этих фигур такой же треугольник.

Мы можем составить треугольник из 2 частей, а также 3 частей, из 5 частей, из 7 частей.

А вот из 6 частей танграма составить треугольник нельзя.

Очевидно, что из всех семи фигур танграма составляется квадрат. Также квадрат мы можем составить из 2 фигур, 3 фигур, 4 фигур.

Прямоугольник можно составить, например, из 2 маленьких треугольников и четырёхугольника или с помощью 2 маленьких треугольников и квадрата.

Также можно составить прямоугольник из 5 частей танграма или из всех 7 частей.

А ещё из частей этой головоломки можно составить, например, пятиугольник.

Выполним задание. Составьте каждую картинку, изображённую на рисунке, из 7 частей танграма.

Решение.

Популярность танграма привела к созданию других подобных головоломок. Так, например, возьмём квадрат размером  клеток и разделим его на 4 равные части вот таким образом…

Из этих 4 равных фигур мы можем выложить, например, квадрат с квадратным отверстием, прямоугольник с квадратным отверстием или вот такие четырёхугольники.

Сейчас познакомимся с ещё одной известной игрой, которая называется стомахион.

Возьмём прямоугольник, одна сторона которого в 2 раза больше другой, и разделим его на 14 частей – геометрических фигур (1 пятиугольник, 2 четырёхугольника и 11 треугольников). Может показаться, что прямоугольник разбит на части случайным образом, но на самом деле это не так.

Этой известной игре уже более 2000 лет. Её создателем считали Архимеда. В 1899 году швейцарский историк Генрих Зутер обнаружил в книгохранилищах Берлина и Кембриджа арабскую рукопись «Книга Архимеда о разбиении стомахиона на 14 частей, находившихся в рациональных отношениях».  Позже датский математик Гейберг подтвердит, что создателем игры является Архимед.

Из элементов игры можно составлять различные фигуры – силуэты животных, геометрические фигуры и так далее.

Давайте выполним задание. Составьте картинку, изображённую на рисунке, из четырнадцати элементов стомахиона.

На рисунке изображена фигура, которая напоминает бегущего человека.

Игра стомахион требует большого терпения, ведь она намного сложнее игры танграм. Недаром слово «стомахион» переводится как «приводящая в ярость».

Познакомимся ещё с одной головоломкой, которая называется «Колумбово яйцо». В этой головоломке так же, как и в рассмотренных выше, необходимо создавать фигуры из элементов, которые получаются из овала. Для изготовления игры берут за основу овал (например, размером  см) и разрезают его на десять частей вот таким образом…

В результате получается 4 треугольника (2 больших и 2 маленьких), 2 фигуры, похожие на четырёхугольник, одна из сторон которого округлой формы, 4 фигуры (большие и маленькие), которые имеют сходство с треугольником, но с одной закруглённой стороной.

В «Колумбово яйцо» можно играть, составляя из частей фигурки всевозможных предметов, животных, птиц. При этом элементы игры должны соединяться таким образом, чтобы они не перекрывали друг друга. В составленной фигуре должны использоваться все 10 элементов головоломки.

Выполним задание. Составьте картинку, изображённую на рисунке, из 10 элементов игры «Колумбово яйцо».

Фигура, изображённая на рисунке, напоминает зайчика.

Интересно, что элементы геометрических головоломок участвуют в жизни современного человека. Так, танграм во всех его проявлениях можно встретить, например, в дизайне одежды, а также в архитектуре. Танграм часто можно встретить в дизайне мебели.