Куб и его свойства

На одном из предыдущих занятий мы с вами познакомились с таким многогранником, как прямоугольный параллелепипед.

Решая задачу со спичками, получили геометрическую фигуру, которую называют пирамидой.

Впереди вас ожидает знакомство и с другими многогранниками. А сейчас давайте вернёмся к прямоугольному параллелепипеду.

Итак, поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников. Эти прямоугольники называются гранями параллелепипеда.

Обратите внимание, что два соседних прямоугольника имеют общую сторону, которая называется ребром прямоугольного параллелепипеда. Концы рёбер называются вершинами прямоугольного параллелепипеда.

Таким образом, прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

Отметим, что при всём различии многогранников поверхность каждого из них состоит из плоских многоугольников, которые называют гранями многогранника. Два соседних плоских многоугольника имеют общую сторону – ребро многогранника. Концы рёбер являются вершинами многогранника.

Этот многогранник называется октаэдром. У него 8 граней, которые являются треугольниками, 12 рёбер и 6 вершин.

Куб – это такой прямоугольный параллелепипед, в котором все рёбра равны между собой. Обратите внимание, что рёбра куба, которые не видны, мы изображаем пунктирными линиями. Это позволяет получить полное представление о фигуре и её расположении по отношению к нам.

Все грани куба – равные между собой квадраты. Поверхность куба состоит из 6 равных квадратов. Посмотрите, что грани, расположенные друг против друга, не имеют общих рёбер. Эти грани называются противоположными.

Грани, которые имеют общее ребро, называются смежными.

А теперь давайте проведём небольшой эксперимент. Возьмём коробку, которая имеет форму куба. Откроем её, потом разрежем по четырём вертикальным рёбрам, а затем развернём.

Фигуру, которая у нас получилась, называют развёрткой куба. Она состоит из 6 равных квадратов.

Следующие фигуры также являются развёртками куба.

С помощью любой из развёрток вы можете изготовить модель куба. Для этого можно поступить следующим образом. Начертить на листе бумаги развёртку куба. Вырезать её. Согнуть по отрезкам, которые соответствуют рёбрам куба, и склеить.

Теперь давайте проведём с вами отрезок, который соединит наиболее удалённые друг от друга вершины куба. Эти вершины называют противоположными.

Отрезок, соединяющий две противоположные вершины куба, называется диагональю куба.

А теперь давайте с вами решим несколько задач.

Задача первая. Определите, какой кубик получится из данной развёртки.

Решение.

Давайте мысленно представим, какие грани кубика являются смежными, то есть имеют общее ребро, и сравним с предложенными вариантами, чтобы найти верный. Для этого нам удобнее всего сравнивать грани, которые отличаются по нанесённому на них рисунку. Обратите внимание на грань с жёлтым треугольником и грань с зелёным треугольником. Очевидно, что эти грани будут смежными при сборке кубика. При этом возможны четыре варианта взаимного расположения этих граней при различных поворотах кубика.

Теперь сравним с четырьмя предложенными вариантами. Сразу видим, что вариант первый неверный. Вариант второй неверный. Очевидно, что вариант третий тоже неверный. А вот вариант четвёртый верный, так как грани, на которых изображены треугольники, расположены верно. При этом на верхней грани должен быть изображён синий круг. Действительно так.

Таким образом, мы с вами выяснили, что из данной развёртки получится куб под номером 4.

Данную задачу вы можете решить ещё одним способом. А именно нарисовать данную развёртку на бумаге. Причём удобнее это сделать на листочке в клеточку, тогда вам не надо будет использовать линейку, чтобы соблюдать размеры кубика. Вы просто будете отсчитывать нужное количество клеточек.

Затем нужно будет раскрасить нарисованную развёртку и вырезать. Потом свернуть из неё куб и склеить его. После чего вы легко можете сравнить получившийся куб с каждым из предложенных вариантов и выбрать верный.

Задача вторая. Модель куба с длиной ребра 4 сантиметра окрасили в серую краску и распилили вдоль рёбер на кубики с длиной ребра 1 см. Сколько среди полученных кубиков: а) окрашенных с трёх сторон; б) окрашенных с двух сторон?

Решение.

Задача третья. На рисунке изображён каркас куба. Проведите видимые рёбра так, чтобы куб был «виден»: а) сверху слева; б) снизу справа.

Решение.

Задача четвёртая. На рисунке изображена фигура, сложенная из пяти кубиков. Какой вид будет иметь данная фигура, если смотреть на неё: а) спереди; б) слева; в) сверху?

Решение.