Меню
Разработки
Разработки  /  Математика  /  Разное  /  11 класс  /  В мире алгебраических уравнений

В мире алгебраических уравнений

03.01.2021

Содержимое разработки

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым

Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного

образования Республики Крым «Малая академия наук «Искатель»




Отделение: математика

Секция: математика





Работу выполнила:

Ким Яна Михайловна,

ученица 11 класса муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Советская средняя школа № 1» Советского района

Республики Крым


Научный руководитель:

Гунько Людмила Дмитриевна, учитель математики муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Советская средняя школа № 1» Советского района

Республики Крым





В МИРЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ






























пгт. Советский – 2020

ТЕЗИСЫ




В МИРЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ




Ким Яна Михайловна МБОУ « Советская СШ №1», 11 класс,

пгт. Советский Советского района Республики Крым

Гунько Людмила Дмитриевна, учитель МБОУ « Советская СШ №1»,

пгт. Советский, Советского района Республики Крым


Целью данной работы является ознакомление с нестандартными методами решения уравнений.


Актуальность исследования заключается в том, что решение сложных уравнений будет нужно при подготовке к ЕГЭ.


Задачи исследования:

- развитие навыков самостоятельной познавательной и исследовательской

деятельности;

- развитие умения получать и обрабатывать информацию;

- приобретение умений видеть проблему и наметить пути ее решения;

- подготовку к ЕГЭ.


Результаты:


Практическая значимость работы состоит в том, что не всегда при решении сложных уравнений следует идти по «накатанной колее», пытаясь найти решение «в лоб»: достаточно лишь взглянуть на него и найти зацепку, позволяющую избежать сложных вычислений и преобразований. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике.











СОДЕРЖАНИЕ


ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………………………. 4


РАЗДЕЛ 1……………………………………………………………………………..5

СИММЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ


РАЗДЕЛ 2 ……………………………………………………………………………7

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ


РАЗДЕЛ 3……………………………………………………………………………..9

ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО КВАДРАТА


РАЗДЕЛ 4…………………………………………………………………………….11

ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И К НИМ СВОДЯЩИЕСЯ


РАЗДЕЛ 5…………………………………………………………………………....13

УРАВНЕНИЯ ВИДА (х-а)(х-в)(х-с)(х-d) = k

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………………........14


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………………15






















ВВЕДЕНИЕ




Я учусь в 11 классе. На уроках математики, олимпиадах и конкурсах мне неоднократно встречались уравнения степени выше второй. При решении этих уравнений я испытывала большие трудности. Удавалось решить самые простейшие. Как решить эту проблему? В школьных учебниках уравнение высшей степени – редкость. Я обратилась к учителю математики с просьбой помочь мне научиться решать уравнения высших степеней. Она предложила мне поработать над уравнениями индивидуально под её руководством. Вот поэтому я выбрала тему «В МИРЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ».

В этом учебном году мне предстоит поступление в ВУЗ, что делает эту работу для меня актуальной. Уравнения – это наиболее объемная тема всего курса математики.
Не всякое уравнение в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать другие методы решения, речь о которых и пойдет в ходе данной работы. Выше сказанное определяет актуальность работы.

Целью данной работы является ознакомление с нестандартными методами решения уравнений.


Объект исследования – уравнения, не поддающиеся решению с помощью стандартных методов, или отличающиеся громоздкостью стандартного решения.


Для достижения поставленной цели в данной работе решаются следующие задачи:

- развитие навыков самостоятельной познавательной и исследовательской деятельности;

- развитие умения получать и обрабатывать информацию (поиск информации, работа с образовательными порталами и электронными каталогами библиотек, поисковыми системами Интернета, книгоизданиями)

-приобретение умений видеть проблему и наметить пути ее решения;

- подготовку к ЕГЭ и поступлению во ВУЗ.

Практическая значимость работы состоит в том, что не всегда при решении сложных уравнений следует идти по «накатанной колее», пытаясь найти решение «в лоб»: достаточно лишь взглянуть на него и найти зацепку, позволяющую избежать сложных вычислений и преобразований.


  РАЗДЕЛ 1




СИММЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ




Определение: уравнение n-ой степени называется симметриче­ским, если у него равны коэффициенты при xR и при хn-R.Таким образом симметрическое уравнение имеет вид:

a0xn + a1xn-1 +…+ anxn-R +…+ a1x + a0 = 0

Симметрические уравнения являются частным видом возвратного уравнения, поэтому симметрические уравнения решаются тем же способом, что и возвратные.

Различают симметрические уравнения 3-ого порядка и 4-ого по­рядка.

Некоторые свойства симметрических уравнений:

  1. Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень -1.

  2. В результате деления симметрического уравнения нечетной сте­пени на (х + 1) получается симметрическое уравнение чет­ной степени на единицу меньше

  3. Симметрическое уравнение четной степени 2n подстановкой y = x + может сводиться в области действительных чисел к уравнению степени n и к уравнениям второй степени.


Пример 1.

Это симметрическое уравнение, разделим обе части уравнения на х2. Тогда

Пусть , тогда . Получаем уравнение:

Чтобы найти х надо решить два уравнения:

и

х2- х+1 = 0 2х2 -5х +1 =0

нет корней х1=2, х2=0,5
Ответ: 0,5; 2


Пример 2.

Уравнение имеет корень х = -1, т.к. это симметрическое уравнение нечетной степени. Разделим многочлен в левой части на ( х – 1).Получим: ( х – 1 )( х6- 3х5+ 6х4 – 7х3 + 6х2 -3х + +1) = 0, х6-3х5+ 6х4- 7х3 +6х2- 3х + 1 = 0. Разделим обе части уравнения на х3 и объединим первый член с последним, второй с предпоследним и т.д. Получим:

Пусть , тогда , .

Получаем: , ( у – 1 )3= 0, значит у=1

Т.к. , тогда , . Это уравнение не имеет корней, значит, имеем только один корень -1. Ответ: -1































РАЗДЕЛ 2



ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ



Однородные уравнения – это такие уравнения, у которых в левой части находятся одночлены одной степени, а правая часть равна нулю.

-это уравнение однородное третьей степени. Чтобы решить однородное уравнение, нужно обе его части разде­лить на одно из неизвестных в степени каждого многочлена, с уче­том, что он не равен нулю.


Пример 3.

+ 5 (х+1) = 6

Это однородное уравнение можно свести к однородному, введя новые переменные: пусть х2= а; (х+1)= в, тогда получим однородное уравнение второй степени: а2 + 5ав = 6в2, разделим обе части уравнения на в2 . Получаем: , пусть , тогда , где с1 = 1, с2 = -6. Получаем зависимость для а и в: . Т.е. а=в, значит х2 = х+ 1 и а = -6в, значит х2= -6( х + 1 )

х2 – х – 1 = 0 х2+ 6х + 6х = 0

Ответ:


Пример 4.

2 + 16х +14у2 = 0 Это однородное уравнение второй степени относительно х и у. ( 0;0) является решением уравнения. Пусть у , тогда разделим обе части уравнения на

у2 .Получаем: . Пусть , . Где а1= -1,

а2= -7. Тогда получаем такие уравнения:


и -7

х = -у х = -7у

2 – 16у + 14у2= 0 98у2 – 112у + 14у2 = 0

у1=0, у2= 1 у3 =0, у4 =1

х1=0, х2= -1 х3 =0, х4 = -7

Ответ: ( 0; 0 ), ( -1; 1 ), ( -7; 1 ).


Пример 5.

- не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на , получим

Введем замену.

Пусть , тогда

;

или

; ;

Ответ: ; ; ;





















РАЗДЕЛ 3




ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО КВАДРАТА



Пример 6.

Введем замену.

Пусть , тогда

;

Вернемся к замене.

или

корней нет

Ответ:


Пример 7.

=8 ОДЗ:

Выделим полный квадрат в правой части уравнения, тогда получим:

, ,

, пусть , тогда у2 = 8 + 2у,

у2 – 2у – 8 = 0, где у1 =-2, у2 = 4.

т.к. , то

Значит с учетом ОДЗ - корни уравнения

Ответ:




































РАЗДЕЛ 4



ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И К НИМ СВОДЯЩИЕСЯ



Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. , ,


1) Возвратные уравнения четной степени.


Пример 8.

т.к. - не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на .

Введем замену.

Пусть , , получим

;

Вернемся к замене.

или

корней нет

Ответ:


2) Возвратные уравнения нечетной степени.

Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к. у любого возвратного уравнения нечетной степени один из корней всегда равен –1


Пример 9.

Очевидно - корень уравнения.

или

т.к - не является корнем уравнения, то разделим обе части

уравнения на

Введем замену.

Пусть , , , получим

или или

корней нет

Ответ: , ,
























РАЗДЕЛ 5




УРАВНЕНИЯ ВИДА (х-а)(х-в)(х-с)(х-d)= k, где a+b=c+d




Уравнения вида, (х-а)(х-в)(х-с)(х-d)= k, где a+b=c+d

эффективно решать перемножением (х-а)(х-в) и (х-с)(х-d), а затем делать замену.

Пример 10.

Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение:

Пусть , тогда получим уравнение:

Тогда и х2 + 5х = - 12

х2 + 5х – 6 = 0 х2 + 5х + 12 = 0

D =49 D = - 23значит нет корней

х1=1, х2= - 6

Значит 1 и - 6 корни уравнения.

Ответ: 1; - 6.


Пример 11.

Решить уравнение

Решение. Сделаем замену неизвестных

т.е. y=x+3 или x = y3. Тогда уравнение (9) можно переписать в виде

(y-2)(y-1)(y+1)(y+2)=10, т.е. в виде

(y2- 4)(y2-1)=10

Биквадратное уравнение (10) имеет два корня . Следовательно, уравнение (9) так же имеет два корня:

Ответ:



ЗАКЛЮЧЕНИЕ




В процессе исследования цель работы достигнута, полностью решены поставленные задачи и получены следующие результаты и выводы:
1. Приведены теоретические сведения (методы, теоремы) о решении уравнений.
2. Приведены и рассмотрены на примере методы решения уравнений, основанные на полученных теоретических сведениях.
3. Рассмотрены и применены на практике дополнительные нестандартные методы решения уравнений.
В результате, можно сделать вывод, что нестандартные приемы решения уравнений позволяют получить результат наиболее рациональным способом. При использовании данных методов, решение занимает значительно меньше времени, а также оно намного «красивее».


























СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ




1.Галицкий, М.Л. Углубленное изучение алгебры и математического анализа : учебник/М.Л.Галицкий М.: Просвещение, 1997.


2.Шабунин, М.И. Пособие по математике для поступающих в вузы : учебник/М.И.Шабунин М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.


3.Яковлев, Г.Н. Пособие по математике для поступающих в вузы : учебник/Г.Н.Яковлев М.: Физматлит,2001.



























-75%
Курсы повышения квалификации

Активизация основных видов деятельности учащихся на уроках математики в условиях реализации ФГОС в основной школе

Продолжительность 72 часа
Документ: Удостоверение о повышении квалификации
4000 руб.
1000 руб.
Подробнее
Скачать разработку
Сохранить у себя:
В мире алгебраических уравнений (198.38 KB)

Комментарии 0

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или на сайт