В мире алгебраических уравнений

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым

Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного

образования Республики Крым «Малая академия наук «Искатель»

пгт. Советский – 2020

ТЕЗИСЫ

В МИРЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Ким Яна Михайловна МБОУ « Советская СШ №1», 11 класс,

пгт. Советский Советского района Республики Крым

Гунько Людмила Дмитриевна, учитель МБОУ « Советская СШ №1»,

пгт. Советский, Советского района Республики Крым

Целью данной работы является ознакомление с нестандартными методами решения уравнений.

Актуальность исследования заключается в том, что решение сложных уравнений будет нужно при подготовке к ЕГЭ.

Задачи исследования:

- развитие навыков самостоятельной познавательной и исследовательской

деятельности;

- развитие умения получать и обрабатывать информацию;

- приобретение умений видеть проблему и наметить пути ее решения;

- подготовку к ЕГЭ.

Результаты:

Практическая значимость работы состоит в том, что не всегда при решении сложных уравнений следует идти по «накатанной колее», пытаясь найти решение «в лоб»: достаточно лишь взглянуть на него и найти зацепку, позволяющую избежать сложных вычислений и преобразований. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………………………. 4

РАЗДЕЛ 1……………………………………………………………………………..5

СИММЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

РАЗДЕЛ 2 ……………………………………………………………………………7

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

РАЗДЕЛ 3……………………………………………………………………………..9

ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО КВАДРАТА

РАЗДЕЛ 4…………………………………………………………………………….11

ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И К НИМ СВОДЯЩИЕСЯ

РАЗДЕЛ 5…………………………………………………………………………....13

УРАВНЕНИЯ ВИДА (х-а)(х-в)(х-с)(х-d) = k

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………………........14

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………………15

ВВЕДЕНИЕ

Я учусь в 11 классе. На уроках математики, олимпиадах и конкурсах мне неоднократно встречались уравнения степени выше второй. При решении этих уравнений я испытывала большие трудности. Удавалось решить самые простейшие. Как решить эту проблему? В школьных учебниках уравнение высшей степени – редкость. Я обратилась к учителю математики с просьбой помочь мне научиться решать уравнения высших степеней. Она предложила мне поработать над уравнениями индивидуально под её руководством. Вот поэтому я выбрала тему «В МИРЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ».

В этом учебном году мне предстоит поступление в ВУЗ, что делает эту работу для меня актуальной. Уравнения – это наиболее объемная тема всего курса математики.
Не всякое уравнение в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать другие методы решения, речь о которых и пойдет в ходе данной работы. Выше сказанное определяет актуальность работы.

Целью данной работы является ознакомление с нестандартными методами решения уравнений.

Объект исследования – уравнения, не поддающиеся решению с помощью стандартных методов, или отличающиеся громоздкостью стандартного решения.

Для достижения поставленной цели в данной работе решаются следующие задачи:

- развитие навыков самостоятельной познавательной и исследовательской деятельности;

- развитие умения получать и обрабатывать информацию (поиск информации, работа с образовательными порталами и электронными каталогами библиотек, поисковыми системами Интернета, книгоизданиями)

-приобретение умений видеть проблему и наметить пути ее решения;

- подготовку к ЕГЭ и поступлению во ВУЗ.

Практическая значимость работы состоит в том, что не всегда при решении сложных уравнений следует идти по «накатанной колее», пытаясь найти решение «в лоб»: достаточно лишь взглянуть на него и найти зацепку, позволяющую избежать сложных вычислений и преобразований.

  РАЗДЕЛ 1

СИММЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Определение: уравнение n-ой степени называется симметриче­ским, если у него равны коэффициенты при x^R и при х^n-R.Таким образом симметрическое уравнение имеет вид:

a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_nx^n-R +…+ a₁x + a₀ = 0

Симметрические уравнения являются частным видом возвратного уравнения, поэтому симметрические уравнения решаются тем же способом, что и возвратные.

Различают симметрические уравнения 3-ого порядка и 4-ого по­рядка.

Некоторые свойства симметрических уравнений:

1. Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень -1.

2. В результате деления симметрического уравнения нечетной сте­пени на (х + 1) получается симметрическое уравнение чет­ной степени на единицу меньше

3. Симметрическое уравнение четной степени 2n подстановкой y = x + может сводиться в области действительных чисел к уравнению степени n и к уравнениям второй степени.

Пример 1.

Это симметрическое уравнение, разделим обе части уравнения на х². Тогда

Пусть , тогда . Получаем уравнение:

Чтобы найти х надо решить два уравнения:

и

х²- х+1 = 0 2х² -5х +1 =0

нет корней х₁=2, х₂=0,5
Ответ: 0,5; 2

Пример 2.

Уравнение имеет корень х = -1, т.к. это симметрическое уравнение нечетной степени. Разделим многочлен в левой части на ( х – 1).Получим: ( х – 1 )( х⁶- 3х⁵+ 6х⁴ – 7х³ + 6х² -3х + +1) = 0, х⁶-3х⁵+ 6х⁴- 7х³ +6х²- 3х + 1 = 0. Разделим обе части уравнения на х³ и объединим первый член с последним, второй с предпоследним и т.д. Получим:

Пусть , тогда , .

Получаем: , ( у – 1 )³= 0, значит у=1

Т.к. , тогда , . Это уравнение не имеет корней, значит, имеем только один корень -1. Ответ: -1

РАЗДЕЛ 2

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Однородные уравнения – это такие уравнения, у которых в левой части находятся одночлены одной степени, а правая часть равна нулю.

-это уравнение однородное третьей степени. Чтобы решить однородное уравнение, нужно обе его части разде­лить на одно из неизвестных в степени каждого многочлена, с уче­том, что он не равен нулю.

Пример 3.

+ 5 (х+1) = 6

Это однородное уравнение можно свести к однородному, введя новые переменные: пусть х²= а; (х+1)= в, тогда получим однородное уравнение второй степени: а² + 5ав = 6в², разделим обе части уравнения на в² . Получаем: , пусть , тогда , где с₁ = 1, с₂ = -6. Получаем зависимость для а и в: . Т.е. а=в, значит х² = х+ 1 и а = -6в, значит х²= -6( х + 1 )

х² – х – 1 = 0 х²+ 6х + 6х = 0

Ответ:

Пример 4.

2х² + 16х +14у² = 0 Это однородное уравнение второй степени относительно х и у. ( 0;0) является решением уравнения. Пусть у , тогда разделим обе части уравнения на

у² .Получаем: . Пусть , . Где а₁= -1,

а₂= -7. Тогда получаем такие уравнения:

и -7

х = -у х = -7у

2у² – 16у + 14у²= 0 98у² – 112у + 14у² = 0

у₁=0, у₂= 1 у₃ =0, у₄ =1

х₁=0, х₂= -1 х₃ =0, х₄ = -7

Ответ: ( 0; 0 ), ( -1; 1 ), ( -7; 1 ).

Пример 5.

- не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на , получим

Введем замену.

Пусть , тогда

;

или

; ;

Ответ: ; ; ;

РАЗДЕЛ 3

ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО КВАДРАТА

Пример 6.

Введем замену.

Пусть , тогда

;

Вернемся к замене.

или

корней нет

Ответ:

Пример 7.

=8 ОДЗ:

Выделим полный квадрат в правой части уравнения, тогда получим:

, ,

, пусть , тогда у² = 8 + 2у,

у² – 2у – 8 = 0, где у₁ =-2, у₂ = 4.

т.к. , то

Значит с учетом ОДЗ - корни уравнения

_Ответ:

РАЗДЕЛ 4

ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И К НИМ СВОДЯЩИЕСЯ

Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. , ,

1) Возвратные уравнения четной степени.

Пример 8.

т.к. - не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на .

Введем замену.

Пусть , , получим

;

Вернемся к замене.

или

корней нет

Ответ:

2) Возвратные уравнения нечетной степени.

Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к. у любого возвратного уравнения нечетной степени один из корней всегда равен –1

Пример 9.

Очевидно - корень уравнения.

или

т.к - не является корнем уравнения, то разделим обе части

уравнения на

Введем замену.

Пусть , , , получим

или или

корней нет

Ответ: , ,

РАЗДЕЛ 5

УРАВНЕНИЯ ВИДА (х-а)(х-в)(х-с)(х-d)= k, где a+b=c+d

Уравнения вида, (х-а)(х-в)(х-с)(х-d)= k, где a+b=c+d

эффективно решать перемножением (х-а)(х-в) и (х-с)(х-d), а затем делать замену.

Пример 10.

Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение:

Пусть , тогда получим уравнение:

Тогда и х² + 5х = - 12

х² + 5х – 6 = 0 х² + 5х + 12 = 0

D =49 D = - 23значит нет корней