Уравнения в целых числах

Уравнения в целых числах

1. Разложение на множители

Пример: Решить в целых числах (x-1)(y+3)=19.

Так как 19 – простое число, то оно может быть представлено как произведение двух целых чисел в четырёх различных вариантах: 19=19·1; 19=1·19; 19=(-19)·(-1); 19=(-1)·(-19), таким образом, (x-1)(y+3) =19

.

(20;-2), (2;16), (-18;-4), (0;-22).

Упражнения

• (x-1)(y+15)=3 Ответ:(4;-14),(2;-12),(0;-18),(-2;-16)

• (2х+3)(у-1)=7 Ответ:(2;2),(-1;8),(-5;0),(-2;-6)

• (1-х)(22+у)=971 Ответ:(972;-21),(0;949),(2;-993), (972;-23)

• х(23у-98)=0 Ответ:(0;z) , z

• (х+2000)(у-2000)=2 Ответ:(-1998;2001),(-1999;2002),

(-2001;1998), (-2002;1999)

Прежде чем решать некоторые примеры подобным способом, их надо разложить на множители. Например, х + у = ху.

Первым действием перенесём все слагаемые в одну часть: ху-х-у=0,далее, чтобы разложить пример на множители обычно к каждой из частей добавляют удобное целое число. В нашем примере постараемся получить произведение (х-1)(у-1), добавив к каждой из частей уравнения 1,то есть ху-х-у+1=1. Разложив на множители, получим (х-1)(у-1)=1,откуда х=0,у=0 или х=2, у=2.

Немного более сложной является задача 3х²+4ху-7у²=13.

Разложением на множители получим (х-у)(3х-7у)=13, заметим, что в данном случае ничего не прибавляем к обеим частям уравнения. Так как 13=13·1=1·13=-13·(-1)=-1·(-13), то получим совокупность четырёх систем

Решая системы, получаем, что системы (2) и (3) решений в целых числах не имеют, а ответами систем (1) и (4) являются соответственнох=2,у=1 и х=-2, у=-1.

Решая подобные задачи важно знать, сколько делителей имеет число.

Теорема: если произвольное число a=p^mqⁿ , где p и q – простые числа, а m,n, то число натуральных делителей этого числа а равняется (m+1)(n+1).

Доказательство: запишем по горизонтали все натуральные делители числа p^m , по вертикали – все делители натурального числа qⁿ:

n+1 раз

Получили прямоугольник, найдем недостающие делители. Таким образом, общее число натуральных делителей есть площадь прямоугольника со сторонами (n+1) и (m+1), то есть (m+1)(n+1).

Иногда предлагается решать уравнения только в простых числах.

Пример. Решить уравнение 19х-уz=1995, причём x, y, z - простые числа.

Решение: так как 1995 делится нацело на 19, то разложим данное уравнение на множители следующим образом: 19х-уz=1995 уz =19х-1995 уz=19(х-105). Далее, решая в простых числах, получим совокупность двух систем,

Ответ:(107;19;2), (107;2;19).

1. Делимость чисел

Отдельную группу уравнений, решаемых в целых числах, представляют собой уравнения, решения которых в той или иной степени связаны с делимостью. Повторим некоторые признаки делимости, которые нам известны:

• На 2 делится нацело число, если его последняя цифра чётная.

• На 4 делится нацело число, если его последние две цифры образуют число, делящееся на 4.

• На 3 делятся нацело те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9- те у которых сумма цифр делится на 9.

• На 5 делятся нацело те числа, у которых последняя цифра 0 или 5.

• На 6 делятся нацело те числа, которые одновременно делятся на 2 и 3.

• На 8 делится нацело число, если три последние его цифры образуют число, делящееся на 8.

Пример. Решим уравнение: у² = 5х² +6.

Решение. Предположим, что х 3, тогда 5х² +6 3, но 5х² +6 не является полным квадратом, так как 5х² +6 не делится нацело на 9; таким образом, если х 3, то решений нет. Предположим, что х не делится нацело на 33, тогда х² при делении на 3 даёт в остатке один, в то время как 5х² +6 при делении на 3 дает в остатке 2, таким образом, остаток правой части не равен остатку левой от деления на одно и то же число, то есть правая часть не равна левой, решений нет.

Ответ:.

1. Выражение одной переменной через другую

Многие целочисленные уравнения решают, выражая одну переменную через другую. Решим уравнение: 2х² – 2ху +9х +у =2.

Решение. Выразим у через х, получим, что у = . Далее попробуем сделать так, чтобы в числителе осталось целое число: у =

у = х +5 + . Так как у, то , таким образом,

Ответ: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3).

Решите самостоятельно уравнение: x² + 5y² = 20z +2. ( Ответ: решений нет)

( решение. x² + 5y² = 20z +2 5y² = 20z+2-x² y² = 4z + , то есть y² если 4z , что верно, и если 2- х² 5, что не верно, так как х² не может заканчиваться на 2, и на 7. Решений нет)

Решим уравнение: x² + 9y² =3z +2 9y² = 3z + 2 – x² y² = . Пусть не делится нацело на 3, тогда не кратно трём и, следовательно, не кратно 9. Тогда кратно 3, что не возможно, так как при делениина3 квадрат дает в остатке0 или 1, а дает в остатке 2 или 1. Число 0 не является составляющей цикла, таким образом . Решений нет.

1. Использование чётности – нечетности

Решим уравнение 2^х- 15 = у² в натуральных числах.

Рассмотрим два случая:

1. x=2k+1; k (нечетное число). Так как 2 в четной степени при делении на 3 дает остаток 1, то 2^2k+1 при делении на 3 дает в остатке 2, 15 делится на 3. Следовательно, y² не делится на 3, но квадрат числа, не делящегося на 3,дает при делении на 3 в остатке 1. Таким образом равенство невозможно.

2. x=2k; k( четное число), тогда 2^2k -15 = y² 2^2k - y² =15 (2^k –y)( 2^k +y) = 15 ( в других случаях будут нецелые или ненатуральные решения)

.

Ответ: (6;7), (4;1).

В некоторых случаях, решая подобные уравнения, можно найти очевидные корни и доказать, что других нет. Например, в уравнении y²+1=2^x любой решающий без особого труда укажет очевидные решения: (0;0), (1;1), (1;-1).

Далее рассматривается два случая:

1. x -нечетный, тогда 2^x и y²+1 не делится на 2 если y - четный; y²+1 2, если y- нечетный. Однако, если y - нечетный, то y²+1 не делится на 4 т.к. 4k²+4k+2 не делится на 4.

2. А 2^х 4 при x ,таким образом, решений нет.

Ответ: (0;0), (1;1), (1;-1).

Четность переменных должна также учитываться при решении уравнений вида 2x² – 5y² = 7:

5y² – нечетное. Таким образом, y – нечетный (y = 2k + 1 : k), подставив y = 2k + 1, получим уравнение 2x² -5(2k + 1)² = 7 x²- 10k² – 10k = 6. Следовательно, х должен быть четным (х= 2n : n), подставив x = 2n, получим уравнение 4n²-10k²-10k=6 , таким образом, данное уравнение не имеет решений, то есть и исходное уравнение их тоже не имеет.

.

Задача. Найти три целых решения и общий вид решений уравнения x² – 51y² = 1. Выразим у² через х²: у² = , можно найти очевидные решения: и общий вид решений данного уравнения: , то есть помимо решений (1;0), (-1;0), принимая t за полные квадраты (1;4;9;165;25;36;…), можно найти решение (50;7).

Ответ: (1;0), (-1;0), (50;7), (: , .

1. Метод преобразования уравнения в сумму квадратов. Оценки

Решим уравнение: = 1 в целых числах. Очевидно, что если сумма двух квадратов равна 1, то либо один из них равен нулю, другой – 1, либо наоборот. Таким образом, = 1 .

Ответ: (0;2), (0;0), (1;1),(-1;1).

Собственно само преобразование в сумму квадратов выглядит следующим образом: x + y = x² – xy + y² x² – x – xy – y + y² = 0 …

Ответ: (2;2),(1;2), (0;0), (1;0), (0;1),(2,).

1. Уравнения вида + = + = z, где z.

Решим уравнение: + = .

Вынесем 20² = 400 из-под радикала: + =20 x = -40 + y = , причем и .

Таким образом, y=5k² : k Поскольку + =20 , то x= 5m² : m, причем k + m = 20, что равносильно совокупности , то есть .

Ответ: (5; 5k²) , где k= 0;1;2; …, 20.

Уравнение + = 48, вида + = z, где z, решается в целых числах следующим образом: + = 48 + = 12, таким образом, a= 16k²(смотри предыдущую задачу), аналогично b=16m², причем k + m = 12 и k,m, таким образом,

k + m = 12; k , то есть .

Ответ: (0;2304), (16;1936), …, (2304;0).

Решите самостоятельно:

1. + =

2. + =

3. + = 1960

4. + = .