Уравнения в целых числах
Разложение на множители
Пример: Решить в целых числах (x-1)(y+3)=19.
Так как 19 – простое число, то оно может быть представлено как произведение двух целых чисел в четырёх различных вариантах: 19=19·1; 19=1·19; 19=(-19)·(-1); 19=(-1)·(-19), таким образом, (x-1)(y+3) =19
.
(20;-2), (2;16), (-18;-4), (0;-22).
Упражнения
(x-1)(y+15)=3 Ответ:(4;-14),(2;-12),(0;-18),(-2;-16)
(2х+3)(у-1)=7 Ответ:(2;2),(-1;8),(-5;0),(-2;-6)
(1-х)(22+у)=971 Ответ:(972;-21),(0;949),(2;-993), (972;-23)
х(23у-98)=0 Ответ:(0;z) , z
(х+2000)(у-2000)=2 Ответ:(-1998;2001),(-1999;2002),
(-2001;1998), (-2002;1999)
Прежде чем решать некоторые примеры подобным способом, их надо разложить на множители. Например, х + у = ху.
Первым действием перенесём все слагаемые в одну часть: ху-х-у=0,далее, чтобы разложить пример на множители обычно к каждой из частей добавляют удобное целое число. В нашем примере постараемся получить произведение (х-1)(у-1), добавив к каждой из частей уравнения 1,то есть ху-х-у+1=1. Разложив на множители, получим (х-1)(у-1)=1,откуда х=0,у=0 или х=2, у=2.
Немного более сложной является задача 3х2+4ху-7у2=13.
Разложением на множители получим (х-у)(3х-7у)=13, заметим, что в данном случае ничего не прибавляем к обеим частям уравнения. Так как 13=13·1=1·13=-13·(-1)=-1·(-13), то получим совокупность четырёх систем
Решая системы, получаем, что системы (2) и (3) решений в целых числах не имеют, а ответами систем (1) и (4) являются соответственнох=2,у=1 и х=-2, у=-1.
Решая подобные задачи важно знать, сколько делителей имеет число.
Теорема: если произвольное число a=pmqn , где p и q – простые числа, а m,n, то число натуральных делителей этого числа а равняется (m+1)(n+1).
Доказательство: запишем по горизонтали все натуральные делители числа pm , по вертикали – все делители натурального числа qn:
n+1 раз
Получили прямоугольник, найдем недостающие делители. Таким образом, общее число натуральных делителей есть площадь прямоугольника со сторонами (n+1) и (m+1), то есть (m+1)(n+1).
Иногда предлагается решать уравнения только в простых числах.
Пример. Решить уравнение 19х-уz=1995, причём x, y, z - простые числа.
Решение: так как 1995 делится нацело на 19, то разложим данное уравнение на множители следующим образом: 19х-уz=1995 уz =19х-1995
уz=19(х-105). Далее, решая в простых числах, получим совокупность двух систем,



Ответ:(107;19;2), (107;2;19).
Делимость чисел
Отдельную группу уравнений, решаемых в целых числах, представляют собой уравнения, решения которых в той или иной степени связаны с делимостью. Повторим некоторые признаки делимости, которые нам известны:
На 2 делится нацело число, если его последняя цифра чётная.
На 4 делится нацело число, если его последние две цифры образуют число, делящееся на 4.
На 3 делятся нацело те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9- те у которых сумма цифр делится на 9.
На 5 делятся нацело те числа, у которых последняя цифра 0 или 5.
На 6 делятся нацело те числа, которые одновременно делятся на 2 и 3.
На 8 делится нацело число, если три последние его цифры образуют число, делящееся на 8.
Пример. Решим уравнение: у2 = 5х2 +6.
Решение. Предположим, что х 3, тогда 5х2 +6
3, но 5х2 +6 не является полным квадратом, так как 5х2 +6 не делится нацело на 9; таким образом, если х
3, то решений нет. Предположим, что х не делится нацело на 33, тогда х2 при делении на 3 даёт в остатке один, в то время как 5х2 +6 при делении на 3 дает в остатке 2, таким образом, остаток правой части не равен остатку левой от деления на одно и то же число, то есть правая часть не равна левой, решений нет.
Ответ:.
Выражение одной переменной через другую
Многие целочисленные уравнения решают, выражая одну переменную через другую. Решим уравнение: 2х2 – 2ху +9х +у =2.
Решение. Выразим у через х, получим, что у = . Далее попробуем сделать так, чтобы в числителе осталось целое число: у =
у = х +5 + . Так как у
, то
, таким образом,
Ответ: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3).
Решите самостоятельно уравнение: x2 + 5y2 = 20z +2. ( Ответ: решений нет)
( решение. x2 + 5y2 = 20z +2 5y2 = 20z+2-x2
y2 = 4z +
, то есть y2
если 4z
, что верно, и если 2- х2
5, что не верно, так как х2 не может заканчиваться на 2, и на 7. Решений нет)
Решим уравнение: x2 + 9y2 =3z +2 9y2 = 3z + 2 – x2
y2 =
. Пусть
не делится нацело на 3, тогда
не кратно трём и, следовательно, не кратно 9. Тогда
кратно 3, что не возможно, так как при делениина3 квадрат дает в остатке0 или 1, а
дает в остатке 2 или 1. Число 0 не является составляющей цикла, таким образом
. Решений нет.
Использование чётности – нечетности
Решим уравнение 2х- 15 = у2 в натуральных числах.
Рассмотрим два случая:
x=2k+1; k
(нечетное число). Так как 2 в четной степени при делении на 3 дает остаток 1, то 22k+1 при делении на 3 дает в остатке 2, 15 делится на 3. Следовательно, y2 не делится на 3, но квадрат числа, не делящегося на 3,дает при делении на 3 в остатке 1. Таким образом равенство невозможно.
x=2k; k
( четное число), тогда 22k -15 = y2
22k - y2 =15
(2k –y)( 2k +y) = 15
( в других случаях будут нецелые или ненатуральные решения)
.
Ответ: (6;7), (4;1).
В некоторых случаях, решая подобные уравнения, можно найти очевидные корни и доказать, что других нет. Например, в уравнении y2+1=2x любой решающий без особого труда укажет очевидные решения: (0;0), (1;1), (1;-1).
Далее рассматривается два случая:
x -нечетный, тогда 2x
и y2+1 не делится на 2 если y - четный; y2+1
2, если y- нечетный. Однако, если y - нечетный, то y2+1 не делится на 4 т.к. 4k2+4k+2 не делится на 4.
А 2х
4 при
x
,таким образом, решений нет.
Ответ: (0;0), (1;1), (1;-1).
Четность переменных должна также учитываться при решении уравнений вида 2x2 – 5y2 = 7:
5y2 – нечетное. Таким образом, y – нечетный (y = 2k + 1 : k
), подставив y = 2k + 1, получим уравнение 2x2 -5(2k + 1)2 = 7
x2- 10k2 – 10k = 6. Следовательно, х должен быть четным (х= 2n : n
), подставив x = 2n, получим уравнение 4n2-10k2-10k=6
, таким образом, данное уравнение не имеет решений, то есть и исходное уравнение их тоже не имеет.
.
Задача. Найти три целых решения и общий вид решений уравнения x2 – 51y2 = 1. Выразим у2 через х2: у2 = , можно найти очевидные решения:
и общий вид решений данного уравнения:
, то есть помимо решений (1;0), (-1;0), принимая t за полные квадраты (1;4;9;165;25;36;…), можно найти решение (50;7).
Ответ: (1;0), (-1;0), (50;7), (:
,
.
Метод преобразования уравнения в сумму квадратов. Оценки
Решим уравнение: = 1 в целых числах. Очевидно, что если сумма двух квадратов равна 1, то либо один из них равен нулю, другой – 1, либо наоборот. Таким образом,
= 1
.
Ответ: (0;2), (0;0), (1;1),(-1;1).
Собственно само преобразование в сумму квадратов выглядит следующим образом: x + y = x2 – xy + y2 x2 – x – xy – y + y2 = 0
…
| 0 | 0 | 2 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 2 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Ответ: (2;2),(1;2), (0;0), (1;0), (0;1),(2,).
Уравнения вида
+
=
+
= z, где z
.
Решим уравнение: +
=
.
Вынесем 202 = 400 из-под радикала: +
=20
x =
-40
+ y
=
, причем
и
.
Таким образом, y=5k2 : k Поскольку
+
=20
, то x= 5m2 : m
, причем k + m = 20, что равносильно совокупности , то есть .
Ответ: (5; 5k2) , где k= 0;1;2; …, 20.
Уравнение +
= 48, вида
+
= z, где z
, решается в целых числах следующим образом:
+
= 48
+
= 12
, таким образом, a= 16k2(смотри предыдущую задачу), аналогично b=16m2, причем k + m = 12 и k,m
, таким образом,
k + m = 12; k
, то есть .
Ответ: (0;2304), (16;1936), …, (2304;0).
Решите самостоятельно:
+
=
+
=
+
= 1960
+
=
.