Центральные и вписанные углы

Конспект урока по геометрии в 8 классе

по теме «Центральные и вписанные углы»

Цели урока.

• Образовательные

Закрепить понятие касательной; понятие дуги окружности, понятия центрального и вписанного углов; знание теоремы о вписанном угле. Изучить следствия из теоремы. Формировать умения решать задачи, используя свойство касательной, теорему о вписанном угле.

• Развивающие

Развивать внимание, память, логическое мышление.

• Воспитательные

Формировать навыки работы в коллективе, воспитывать самостоятельность.

Учащиеся должны знать

Понятия: «касательная», «секущая», «дуга окружности», «центральный угол», «вписанный угол»; свойство касательной; теорему о вписанном угле.

Учащиеся должны уметь решать задачи, используя свойство касательной, теорему о вписанном угле.

Оборудование. Чертежные инструменты, мультимедийный комплекс, презентация или модель окружности с секущими и касательными.

Тип урока. Комбинированный.

Ход урока

1. Организационный момент.

Определение темы урока, постановка цели урока.

1. Актуализация

1. Фронтальный опрос (презентация)

• Какой угол называют центральным углом окружности?

Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

• Какой угол называют вписанным?

Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

• Как измеряется вписанный угол?

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

• Что является угловой мерой дуги окружности?

Если дуга окружности меньше полуокружности или является полуокружностью, то угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Градусной мерой дуги ACB является градусная мера центрального угла AOB:

Градусной мерой дуги BED является градусная мера центрального угла BOD (на рисунке выше), в данном случае это 180⁰, т.е. развернутый угол.

Градусная мера большей дуги окружности ACB рассчитывается по формуле: 360 градусов минус величина угла AOB. Пример: пусть угол AOB равен 90⁰, тогда градусная мера дуги ACB равна 360⁰ - 90⁰ = 270⁰.

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ (презентация)

Задание: определить величину угла АОВ, если

1. Дуга АDB равна 80°

2.Дуга АСB равна 265°

3 .Угол АСВ равен 35°

4.Угол АСВ равен 60°

Ученики записываю ответы в тетрадях. По окончании диктанта производится взаимопроверка.

Проверка домашней работы (презентация) №654(б,в). Два ученика представляют свое решение.

Б) Так как угол вписанный, то дуга, на которую он опирается, равна 60°. В сумме с известной дугой получаем: 60°+125°=185°. Таким образом, искомая дуга: 360°-185°=175°.

Ответ. 175°.

В) Известны градусные меры двух дуг, их сумма: 112°+180°=292°. Найдем дугу, на которую опирается вписанный угол: 360°-292°=68°, тогда по теореме градусная мера искомого угла: 34°

III. Формирование умений.

1.Задача по готовому рисунку (презентация).

Задание.

Найти величину угла АВС, если угол АОС равен 140°.

М

Решение.

Искомый угол АВС – вписанный, опирается на дугу АМС.

Угол АОС-центральный, следовательно, дуга АВС равна 140°. Найдем величину дуги АМС: 360°-140°=220°.

По теореме угол АВС измеряется половиной дуги АМC, то есть равен 110°.

Ответ. 110°.

Ученики решают самостоятельно. Затем один из класса предлагает свое решение. Решение при необходимости дополняется или исправляется учениками.

2.Классу предлагается задача из учебника №656.

Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС - дугу в 43°. Найти угол ВАС.

Н еобходимо рассмотреть два случая решения. Начинаем решать задачу фронтально. Ученик у доски выполняет рисунок и предлагает свое решение. Как правило, рассматривается один из случаев. Учитель предлагает найти ребятам второе решение (работа в парах). Ученики, которые первыми выполнили задание, представляют свое решение классу.

Решение.

1-й случай.

L

Угол ВАС-вписанный, опирается на дугу ВLC. Найдем дугу ВLC: 360°-(115°+43°)=360°-158°=202°.

П о теореме угол ВАС измеряется половиной дуги ВLC, то есть равен 101°.

2-й случай.

Угол ВАС-вписанный, опирается на дугу ВC. Найдем величину дуги ВС: 115°- 43°=72°.

По теореме угол ВАС измеряется половиной дуги ВC, то есть равен 36°.

Ответ.101° или 36°.

После решения задачи классу задается ряд вопросов.

Почему задача имеет два решения?

(Не указана последовательность расположения точек А, В, С на окружности)

Чем являются отрезки ОВ, ОС?

(Радиусами) Дайте определение радиуса.

Чем являются отрезки АВ, ВС?

(Хордами) Дайте определение хорды.

Чем являются прямые АВ, ВС?

(Секущими).

Можно ли провести прямую, которая будет иметь одну общую точку с окружностью? Как называется эта прямая?

(Касательной).

Что вы знаете о свойстве касательной к окружности? (Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания)

3.Класс делится на группы. Учащимся предлагается решить задачу №658.

Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В-точка касания) и секущая АD, проходящая через центр О (D- точка на окружности, О лежит между А и D). Найти угол ВАD и угол АDВ, если дуга ВD равна .

Решение.

Рассмотрим треугольник АОВ. Так как АВ-касательная, то

Рассмотрим треугольник ВОD. ОВ и ОD-радиусы, тогда треугольник ВОD-равнобедренный (по определению). По свойству равнобедренного треугольника:

.

Ответ.

После разбора решения (презентация) учитель работает с классом фронтально, задавая вопросы и предлагая выполнить задания.

1. Назовите центральные/ вписанные углы (задача №658). Назовите (если это возможно) их величины.

2. Не пользуясь транспортиром, постройте на этом же рисунке еще один угол, равный углу ОВD.

3. Сколько таких углов можно построить?

4. Не пользуясь транспортиром, постройте на этом же рисунке вписанный угол, равный 90°.

5. Можно построить только один такой угол?

Ученики формулируют полученные утверждения. Затем учитель предлагает найти эти утверждения в учебнике (стр.170).

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,- прямой.

1. Рефлексия

Анализ и оценка успешности деятельности и определение перспектив последующей работы.

- О чем мы сегодня вели разговор?

- Какова была цель урока?

-Как вы считает: цель урока достигнута?

-Что нового узнали?

-Как оцениваете свои знания? Все понял. Понял частично. Нужно еще разбираться в материале.

1. Домашнее задание П.71, п.72, п.73 стр.168-169 повторить, п.73 стр. 170 изучить

выполнить №662.