Теория множеств

1. Множества. Элементы множества.

2. Отношения между множествами.

   1. Включение.

   2. Равенство.

3. Числовые множества.

4. Множество всех подмножеств данного множества.

5. Операции над множествами.

5.1. Объединение множеств.

5.2. Пересечение множеств.

5.3. Разность множеств.

5.4. Симметрическая разность.

1. Множества. Элементы множества

Одним из фундаментальных понятий математики является понятие множества. Оно обычно принимается за первоначальное и поэтому не определяется через другие.

Основатель теории множеств Георг Кантор описывал это понятие следующим образом: «Множество A есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое» (или «многое, мыслимое нами как единое целое».

Мы будем придерживаться следующего определения:

Множеством называют совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, Х и т.д., а их элементы малыми а, b, c и т.д.

Если элемент а принадлежит множеству М, то пишут а М.

Пустым называется множество, которое не содержит элементов, его обозначают символом .

Например, мы говорим о множестве решений уравнения до того, как узнаём, сколько оно имеет решений. Когда уравнение не имеет решений мы говорим, что множество решений уравнения х²+1=0 – пустое.

2.1. Включение

Если все элементы множества В принадлежат множеству А, то говорят, что множество В является подмножеством множества А. Записывается это следующим образом: В ⊏ А

Наглядно это отношение между множествами изображается ограниченными замкнутыми кривыми. Такое изображение называется диаграммой Венна (кругами Эйлера) ¹.

Например, множество прямоугольников включается в множество параллелограммов (всякий прямоугольник – параллелограмм).

Из определения подмножества следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. справедливо утверждение А  А. Если в множестве В найдется хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству А, то В не является подмножеством множества А. В  А

Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Это вполне естественно, т.к. пустое множество не содержит ни одного элемента и, следовательно, в нём нет элемента, который не принадлежал бы любому другому множеству.

2.2. Равенство

Два множества называются равными, если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества В и каждый элемент множества В является элементом множества А. Записывается это следующим образом: А=В

Например, А = {1, 2}; В = {2,1} А = В

В математике чаще всего приходится иметь дело со множествами, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Различают конечные и бесконечные множества. Например, множество всех двузначных чисел - конечное, а множество отрицательных чисел - бесконечное.

Для числовых множеств удобно ввести специальные обозначения. Мы будем пользоваться следующими:

Натуральные числа – это числа, возникающие в результате счёта предметов. N = {1, 2, 3, …..}.

Целые числа – это натуральные числа, им противоположные и ноль. Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Таким образом N  Z.

Множество действительных чисел является расширением множества рациональных чисел. Оно включает в себя числа, которые нельзя представить в виде конечной или периодической дроби, например, √2. Их называют иррациональными. Таким образом N  Z  Q  R.

4. Множество всех подмножеств данного множества

Множество всех подмножеств некоторого множества М обозначается символом Р(М). Р – первая буква латинского слова parties (части).

Например, если М = {a, b, c}, то

Р(М) = {, {а}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Рассмотрим задачу определения числа всевозможных подмножеств конечного множества. Пусть М – множество, состоящее из n элементов. Будем говорить «n-элементное» множество. Определим, сколько всего подмножеств можно образовать из элементов множества М. Задачу решим методом математической индукции, который основан на следующем принципе:

Выражение А(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены условия:

1. Выражение А(n) истинно для n=1

2. Из предположения, что А(n) истинно для n=k, (где k произвольное натуральное число) следует, что А(n) истинно и для следующего значения n=k+1

1. Пусть М – пустое множество, тогда Р(М) = {}, т.е. Р(М) = 1

2. Пусть М = {a}, тогда Р(М) = {, {a}}, т.е. Р(М) = 2

3. Пусть М = {a, b}, тогда Р(М) = {, {a}, {b}, {a,b}}, т.е. Р(М) = 4

4. Пусть М = {a,b,c}, тогда Р(М) = {, {a}, {b}, {a,b}, {c}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}, т.е. Р(М) = 8

Из этих частных случаев можно заключить, что число всевозможных частей «n-элементного» множества равно 2ⁿ.

Если множество состоит из n элементов, то число всех его подмножеств равно 2ⁿ.

5.1. Объединение множеств

Объединением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат либо множеству А, либо множеству В. Объединение множеств А и В обозначается А U В.

Это определение можно записать кратко так:
А U В = {x|xA или xB}

Пусть А = {a,b,c,d}, B = {x,y,z}

Согласно определения А U В = {a,b,c,d,x,y,z}

При решении неравенств часто приходится образовывать объединение множеств. Пусть, например, требуется решить неравенство |х-2| 1 на множестве R (xR).

А U В = (-∞, 1) U (3, +∞).

5.2. Пересечение множеств

Пересечением двух множеств А и B называется такое множество, элементы которого принадлежат и множеству А и множеству В, т.е. их общая часть. Пересечение множеств обозначаются: А ∩В

Это определение можно записать кратко так:

А∩В = {x|xA и xB}

Рассмотрим два множества: Х={a, b, c, d}, Y={a, b, f, k}

Элементы а и b принадлежит обоим множествам, т.о. множество {a,b} является пересечением рассмотренных множеств Х и Y:

X∩Y = {a, b, c, d}∩{a, b, f, k}= {a, b}

При решении неравенств часто приходится образовывать пересечение множеств. Пусть, например, требуется решить неравенство |х-2| R (xR).

А∩В = (-∞, 3) ∩(1, +∞) = (1, 3)

Например, пересечением множества четных чисел со множеством нечетных чисел – пустое. Пересечение любого множества с пустым множеством есть пустое множество. А∩=.

1. Разность множеств

Разностью множеств А и В называют множество всех тех элементов множества А, которые не входят в множество В. Разность обозначается: А\В.

Например, А={1,2,3}, B={1,2} A\B={3}

Это определение можно записать кратко так: А\В = {x|xA и xB}

1. Симметрическая разность

Симметрической разностью множеств А и В называют множество, представляющее собой объединение множеств A\B и B\A. Симметрическая разность обозначается: АΔВ =(А\В) U (В\А).

Например, А={1,3,5,7,9,11,13}, B={1,2,3,4,5,6,7}

AΔB={2,4,6,9,11,12,13}

Задача 1. Из 40 студентов курса 32 изучают английский язык, 21 - немецкий язык, а 15 - английский и немецкий языки. Сколько студен­тов курса не изучает ни английский, ни немецкий языки?

Решение. Пусть А - множество студентов курса, изучающих анг­лийский язык, В - множество студентов курса, изучающих немецкий язык, С - множество всех студентов курса. По условию задачи: п(А) = = 32, п(В) = 21, п(А∩В) = 15, п(С) = 40. Требуется найти число сту­дентов курса, не изучающих ни английского, ни немецкого языка.

1 способ.

1) Найдем число элементов в объединении данных множеств А и В.

Для этого воспользуемся формулой (2):

п(А U В) = п(А) + п(В) - п(А ∩ В) = 32 + 21 - 15 = 38.

2) Найдем число студентов курса, которые не изучают ни англий­ский, ни немецкий языки: 40 - 38 = 2.

2 способ.

1) Изобразим данные множества при помощи кругов Эйлера и определим число элементов в каждом из непересекающихся подмножеств.

Так как в пересечении множеств А и В содержится 15 элементов, то студентов, изучающих только английский язык, будет 17 (32 - 15 = 17), а студентов, изучающих только немецкий, - 6 (21 - 15 = 6).

Тогда п(А U B) = 17 + 15 + 6 = 38, и, следовательно, число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки, будет 40 - 38 = 2.

1 По имени английского учёного Джона Венна (1834-1923). Намного раньше Венна Леонард Эйлер использовал круги для изображения отношения между множествами.