Способы решения иррациональных уравнений

Урок семинар-практикум "Способы решения иррациональных уравнений"

Корнюшина Татьяна Анатольевна

Цель:

Систематизировать способы решения иррациональных уравнений.

Способствовать формированию умения выбирать наиболее рациональные способы решения иррациональных уравнений.

Закрепить основные методы решения иррациональных уравнений:

- метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

- метод введения новой переменной.

Вспомнить нестандартные способы решения иррациональных уравнений.

На доске:

Список уравнений (на центральной части доски III и IV)

Самостоятельная работа (закрытая доска I и VI)

На партах у каждого: тетрадь-лекции, тетрадь-практикум, лист для самостоятельной работы;

На партах у группы: лист А4 и маркер.

Ход урока

1. Этап урока

У. Ребята, мы изучаем тему “Обобщение понятия степени”. Мы уже систематизировали и обобщили знания по темам “Корень n-ой степени и его свойства”, “Степень с рациональным показателем”.

А сегодня, наши цели: обобщить знания по теме “Иррациональные уравнения”, повторить способы их решения и научиться выбирать наиболее рациональные для конкретной группы иррациональных уравнений.

В. Ребята, давайте вспомним: какие уравнения называются иррациональными?

О. Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или переменная возведена в дробную степень.

В. Сформулируйте основной алгоритм решения иррациональных уравнений.

О. (Ребята формулируют алгоритм, а учитель вывешивает его на доску V).

Алгоритм

1. Найти ОДЗ

2. Возвести в одну и ту же степень обе части уравнения

3. Решить полученное уравнение

4. Сделать проверку

У. Но решать иррациональные уравнения можно не только по алгоритму. Существуют еще способы их решения.

В. Назовите известные вам способы решения иррациональных уравнений.

О. (Ученики называют, а учитель вывешивает таблички с названием на доску II в приведенном порядке, но по мере поступления ответов от учащихся)

Способы решения иррациональных уравнений

• Уединение радикала (возведение в одну и ту же степень)

• Введение новой переменной

• Умножение на сопряженное выражение

• Метод пристального взгляда

• Уравнения, содержащие кубические радикалы

• Уравнения, приводимые к уравнениям с модулями

• Исследование области определения и области значения

• Способ равносильных переходов (переход к системе)

2. Этап урока

У. Поговорим об одном из главных способов решения иррациональных уравнений - способе уединения корня.

Ребята, сегодня на уроке мы работаем в парах, а пары объединяем в группы по следующему принципу: первые парты рядов (3 пары) – 1 группа; вторые парты рядов (3 пары) – 2 группа; третьи парты рядов (3 пары) – 3 группа; четвертые парты рядов (3 пары) – 4 группа.

Обратите внимание! В случае затруднения работы в паре, она может получить помощь-консультацию в своей группе. Для этого достаточно встать и подойти к любой паре. Все понятно? Вопросы есть?

У. Итак, рассмотрим первый способ решения иррациональных уравнений и охарактеризуем некоторые его особенности.

Начнем с решения уравнений (доска IV).

Задание каждой группе на доске. У вас 5 минут.

У. Обсуждаем решение.

В. 1 шаг. Что сделала 1 группа?

О. Перенесли слагаемое в правую часть.

В.Что сделала вторая группа?

О. То же.

В.Что сделала третья группа?

О. То же.

В. Четвертая группа, вы выполняли этот шаг?

О. Нет. (По мере поступления ответов, учитель заполняет таблицу на доске: “+” - да; “-” - нет).

У. 2 шаг.

В. Что сделала 1 группа?

О. Возвели обе части уравнения в квадрат (То же 2 и 3 группы).

В. Что сделала 4 группа?

О. В №4 возвели в куб. В №5 не возводили.

В. Почему?

О. Значение корня не удовлетворяет определению арифметического корня n-ой степени.

Вывод: уравнение 5 не имеет корней.

У. Внимание! Здесь рационально обратить внимание на 1 этап алгоритма: Найти ОДЗ.

3 шаг

В. Что сделали?

О. Решили полученные уравнения.

В. Сколько корней получили в ходе решения?

1 группа – 2 корня;

2 группа – 2 корня;

3 группа – 2 корня;

4 группа – 2 корня;

В. Какой будет следующий 4 шаг?

О. Делаем проверку.

В. В ходе проверки установили, что иррациональное уравнение имеет у 1 группы..?

О. 2 корня.

У. У 2 группы?

О. Остался 1 корень.

У. У третьей группы?

О. 1 корень

У. 4 группа?

О. Проверку можно было не делать, потому что при возведении обеих частей уравнения в одну и ту жжет нечетную степень получаем уравнение равносильное данному.

У. Проверяем ответы!

№ 1 – 0; -1

№ 2 – 3

№ 3 – 3

№ 4 – -2; 2

№ 5 – корней нет

3. Этап урока

У. В начале урока мы выяснили, что решение иррациональных уравнений 1 способом является не единственным.

В. Попробуйте догадаться: какими способами можно решить уравнения, записанные на доске?

Задание: перепишите их в тетрадь и поставьте номер способа рядом с условием. Обсуждаем парами!

В. Какие способы вы выбрали? 1 уравнение? 2? 3? 4? 5? 6? 7? 8? (Смотри на доску III), (способы записываю под диктовку учеников).

У. Любое иррациональное уравнение можно решить разными способами, поэтому наша задача на следующем уроке научиться выбирать наиболее рациональные способы решения иррациональных уравнений.

А сегодня для примера возьмем уравнение №4 и решим его первыми четырьмя способами, а дома попробуйте решить его остальными способами (если это возможно).

1 группа решает 1 способом; 2 группа решает 2 способом; 3 группа решает 3 способом; 4 группа решает 4 способом. (Решение записывает 1 человек из группы на листе А4 маркером, остальные члены группы решают и готовятся прокомментировать решение).

Готовые решения вывешиваются на доске с помощью магнитов.

В. Какой из приведенных способов решения вы считаете более рациональным? (Голосуем)

О. 4 и 1.

У. Однозначного ответа не получили.

4. Этап урока

У. Хочется вспомнить слова индийского математика XII века Бхаскары: “Искра знания возгорается в том, кто достигает понимания собственными силами”.

Пусть эта “искра знаний” поможет вам справиться с самостоятельной работой.

У. Домашнее задание в тетради. Спасибо за урок.

Приложение 1

Проверка:

1. 1=1, верно, 0 – корень уравнения

2. 0=0, верно, 1 – корень уравнения

Ответ: -1;0

Рис.5

Рис. 4

Рис. 6

Рис.7

Рис.8

Приложение 2

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Приложение 3

Ответы к самостоятельной работе:

В- I

№1. 25

№2. 3

№3. -5; 4

№4. 1

№5. х-6≥0

3-х≥0

Х+1≥0

Ответ: корней нет.

В- II

№1. 1

№2. 5

№3. 3;7

№4. 16

1-х≥0

х-2≥0

№5. 3+х≥0

Ответ: корней нет.

Алгоритм:

1. Найти ОДЗ;

2. Возвести в одну и ту же степень обе части уравнения;

3. Решить полученное уравнение;

4. Сделать проверку.

1. Уединение радикала (возведение в одну и ту же степень

2. Введение новой переменной (подстановка)

3. Метод пристального взгляда

4. Умножение на сопряженное выражение

5. Исследование области определения и области значения

Алгоритм:

1. Найти ОДЗ

2. Возвести в одну и ту же степень обе части уравнения

3. Решить полученное уравнение

4. Сделать проверку

5. Записать ответ

1. Уединение радикала (возведение в одну и ту же степень)

2. Введение новой переменной (подстановка)

3. Метод пристального взгляда

4. Умножение на сопряженное выражение

5. Исследование области определения и области значения

Алгоритм:

1. Найти ОДЗ

2. Возвести в одну и ту же степень обе части уравнения

3. Решить полученное уравнение

4. Сделать проверку

5. Записать ответ

1гр. – 1)

2гр. – 2)

3гр. – 3)

4гр. – 4)

Шаги

1.

1 группа

2.

2 группа

3.

3 группа

4 группа

4.

5.

1. Уединение радикала (возведение в одну и ту же степень)

2. Введение новой переменной (подстановка)

3. Метод пристального взгляда

4. Умножение на сопряженное выражение

5. Исследование области определения и области значения

(2)

(1, 4)

(1, 3)

(1, 2, 3, 4)

(1, 2)

(1)

(2)

«Искра знаний возгорается в том, кто достигает понимания собственными силами.»

Из трактата «Лилавати» индийского математика Бхаскары ( XII в.)