Решение простейших тригонометрических уравнений

Ход урока, деятельность учителя

Деятельность ученика

I. Организационный этап

Задачи: подготовить учащихся к работе на уроке.

Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания.

II. Этап проверки домашнего задания

Задачи: установить правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися.

1. Проверка домашнего задания у доски.

а) Сравнить:

arctg () и arccos

arcctg и arcsin 1

б) Вычислить:

arctg () + arccos () + arcsin 1

arcsin (-1) – arccos + 3arctg ()

в) Расположить в порядке возрастания:

arccos 0,4; arccos (-0,2); arсcos (-0,8)

Трое учащихся решают данные задания у доски.

2. С классом проводится фронтальный опрос и устная работа.

Вопросы: а) Дать определение:

arcsin ,

arccos ,

arctg ,

arcctg ;

б) Имеют ли смысл выражения:

arcsin ;

arсcos ;

arctg 5;

arcсtg ;

arccos 1,8 ;

arcsin (-1,5).

в) Найти значения выражений и мотивировать свой ответ:

arcsin 0;

arсcos ;

arctg ;

arcсtg 1;

г) Расположить в порядке возрастания:

arcsin ; arcsin ; arcsin ;

arccos 1; arсcos ; arcсos ;

Учащиеся отвечают на вопросы учителя, выполняют устные задания.

3. Проверка работ, выполненных учащимися у доски.

Каждый учащийся, выполнявший работу, комментирует свой пример.

4. Назовите несколько значений угла поворота , при которых выполняются условия:

sin =;

cos = 1;

tg =.

Предполагаемый вариант ответа:

= arcsin =.

Учитывая период функции синус = arcsin + 2 = + 2 = и т.д.

III. Этап получения новых знаний

Задача: познакомить учащихся с простейшими тригонометрическими уравнениями, вывести формулы и отработать первичные навыки их решения.

Учитель диктует, а учащиеся записывают тему урока: “Решение простейших тригонометрических уравнений”.

Открывается доска, где записаны уравнения: sin х = а, cos х = а, tg х = а, ctg x = a.

1. Дается определение простейших тригонометрических уравнений.

2. Осуществляется решение уравнений: sin х = 0, cos х = 0, используя определение синуса и косинуса.

sin х = 0.

Найдем на тригонометрической окружности точки с ординатой 0. Из А(1;0) в них можно попасть поворотом на угол n, n Є Z, т.е.

х = n, n Є Z

Аналогично получают решения уравнения cos х = 0.

х = + n, n Є Z

Решения уравнений sin х =1, sin х = -1, cos х = 1, cos х = -1, учащиеся по вариантам получают самостоятельно и осуществляют проверку через представленную учителем таблицу.

Получили формулы решения уравнений

3. Выводятся формулы корней уравнений: sin х = а, cos х=а, tg х = а.

A) Для вывода формулы корней уравнения sin х = а через кодоскоп показывается слайд с изображением в одной системе координат графиков функций у = sin х и у = а

Если |а| 1, , то графики функций у = sin х и у = а не пересекаются, и уравнение sin х = а не имеет корней.

Если |а| ; ] графики пересекаются в точке с абсциссой х = arcsin a, и, учитывая период функции синус, получаем:

х = arcsin a + 2пn, n Є Z,(1), а на отрезке [;] графики пересекаются в точке с абсциссой х = п- arcsin a и, учитывая период , получаем:

х = п – arcsin a + 2пn, n Є Z. (2)

Эти две формулы можно объединить одной:

х = (-1)^к arcsin a + пn, n Є Z (3)

Убедимся, что формулы (1) и (2) объединяет формула (3).

При к = 0, х = (-1)⁰arcsin a = arcsin a, (1);

При к =1, х = -arcsin a + п = п- arcsin a, (2);

При к =2 , х = (-1)²arcsin a +2п = arcsin a +2п, (1);

При к =3, х = (-1)³arcsin a + 3п = ( п- arcsin a) + 2п, (2).

Б) Аналогично выводятся формулы корней уравнений

cos х = а

х = +/- arccos a + 2пn, n Є Z.

tg х = а

х = arctgs a + пn, n Є Z.

В) Для решения уравнений ctsх =а используют тождество tdх ctgх =1, откуда tgх =, и записывают уравнение в виде: tgх =

По окончании вывода формул вывешивается плакат с опорным конспектом по теме урока.

Учащиеся привлекаются к определению координат точек пересечения графиков, делают выводы по ходу рассуждений вместе с учителем.

Полученные формулы записывают в тетрадь.

IV. Этап первичного закрепления навыков решения простейших тригонометрических уравнений.

Задачи: первичное закрепление навыков решения тригонометрических уравнений в ходе устной работы.

Устно решить уравнения:

sinх =, cosх =,

sinх = 3, cosх =,

cosх =-2,4, tgх =1,

tgх =1,7.

Учащиеся, пользуясь полученными формулами, устно решают уравнения.

V. Этап отработки умений и навыков по решению простейших тригонометрических уравнений.

Задачи: отрабатывать умения и навыки решения уравнений.

У доски 4 учащихся по очереди решают по два уравнения:

а) 2sin х = 1, 2cosх = ;

б)cosх –1 =0, tgх – 1 = 0;

в) sin 2х = , = -;

г) tgх = 0,8, ctgх = 2,5.

Учащиеся работают вместе с отвечающим у доски или решают уравнения самостоятельно и сверяют решение с записями на доске.

VI. Этап проверки первичного усвоения знаний, умений и навыков по теме в ходе самостоятельной работы.

Задачи: проверить степень усвоения нового материала, выявить пробелы в знаниях учащихся.

Самостоятельная работа.

Решите уравнения:

Учащиеся выполняют самостоятельную работу, по команде учителя обмениваются тетрадями и осуществляют взаимопроверку. Верное решение показывается учителем через кодоскоп.

VII. Домашнее задание.

Задачи: сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.