Производная функции

Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции

Время в пути равно t

B

А

S

V=S / t

ЗАДАЧА. По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения(метр) и наравление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой S=s(t), где t – время (в секундах), s(t) – положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

∆ s

РЕШЕНИЕ. Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке M

P

O

M

OM=S(t). Дадим аргументу t приращение ∆t и рассмотрим ситуацию в момент времени t + ∆t . Координата материальной точки станет другой, тело в этот момент будет находиться в точке P: OP= s(t+ ∆t) – s(t).

Значит, за ∆t секунд тело переместилось из точки M в точку P.

Имеем: MP=OP – OM = s(t+ ∆t) – s(t).

Полученная разность называется приращением функции: s(t+ ∆t) – s(t)= ∆s. Итак, MP= ∆s (м).

Тогда средняя скорость на промежутке времени [t; t+∆t]:

ʋ ср= ∆s/ ∆t (м/c)

А что такое ʋ(t) в момент времени t, (её называют мгновенной скоростью).

Т.е. мгновенная скорость – это средняя скорость на промежутке [t; t+∆t] при условии, что ∆t →0. Это значит, что :

ʋ(t)=lim ∆s / ∆t

∆ t→0

Предел приращения функции к приращению аргумента, если он существует, называют производной функции в точке x 0 и пишут:

Вспомним, что понимают под касательной к графику функции:

Предельное положение секущей при стремлении точки M к A по кривой L, называют касательной к кривой L.

y

L

M

f (x)

A

f (x 0 )

C

y = f (x)

B

x 0

0

x

x

Линейная функция и ее график

Какой вид имеет линейная функция?

y = kx+b - линейная функция.

Что является графиком линейной функции?

Графиком линейной функции является прямая.

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Угол α – углом между этой прямой и положительным направлением оси Ox.

0 α 0 x Рис.1 a) " width="640"

Линейная функция и ее график

y

y = kx + b, k 0

α

0

x

Рис.1

a)

Линейная функция и ее график

y

y = kx + b, k

0

α

x

б)

Геометрический смысл углового коэффициента прямой k :

k = tg α

Вспомним определение тангенса – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Т.е. tg α =b/a

c

b

α

a

Геометрический смысл производной дифференцируемой функции y = f (x)

y

M

f (x 0 +h)

A

α

С

f (x 0 )

y = f (x)

h

α

B

x 0

x 0 +h

0

x

Рис.2

Геометрический смысл производной дифференцируемой функции y = f (x)

y

M

f (x 0 +h)

f (x 0 +h) - f (x 0 )

A

β

f (x 0 )

C

y = f (x)

h

α

B

x 0

x 0 +h

0

x

Рис.3

Геометрический смысл производной дифференцируемой функции y = f (x)

y

M

f (x 0 +h)

A

f (x 0 )

y = f (x)

α

B

x 0

x 0 +h

0

x

Рис.4

Геометрический смысл производной дифференцируемой функции y = f (x):

Значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Уравнение касательной к графику функции