Проектная работа и презентация по математике "Признаки делимости в задачах и головоломках"

Введение. 

 Магия фокуса способна разбудить сонных, растормошить ленивых, заставить думать тугодумов. Ведь не разгадав секрета фокуса, невозможно понять и оценить всей его прелести. А секрет фокуса чаще всего имеет математическую природу.

Такие вопросы математики, как делимость натуральных чисел, простые и составные числа, взаимно простые числа, делители и кратные, разложение чисел на простые множители интересовали великих математиков еще с древних времен. Казалось, все давно известно и понятно. Но, когда на уроках математики мы начали изучать эти темы, то мой интерес оказался велик, и мне захотелось узнать:

Что собой представляет таблица простых чисел? Есть ли последнее простое число? На уроках изучали основные признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9 и на 10, а для каких чисел еще известны признаки делимости?

Чтобы ответить на эти вопросы, я занялась этой работой. Неоценимо значение признаков делимости при решении нестандартных задач, головоломок, фокусов.

Магия не обязательно подразумевает ловкость рук. Можно использовать также математику с ее логическими механизмами. Возможности чисел безграничны и могут привести любого в замешательство!

Магия фокуса способна разбудить сонных, растормошить ленивых, заставить думать тугодумов. Ведь не разгадав секрета фокуса, невозможно понять и оценить всей его прелести. А секрет фокуса чаще всего имеет математическую природу. Следуя за развитием естественных наук, математические игры пережили переход от классической эры к современной. Не только наука, но и развлечения 20 века неотделимы от современной математики. Если в классические времена лишь теория вероятности органически включала в себя теорию игр, то сейчас само слово игра стало математическим термином, который широко используется в самых различных науках: в экономике, биологии, военном деле…

Цель исследования: изучить признаки делимости натуральных чисел и их применение при решении нестандартных задач, головоломок, фокусов.

Для достижения цели были поставлены задачи:

Изучить теоретический материал по данной проблеме.

Отработать при решении задач полученные теоретические знания.

Составить комплекс наиболее интересных и увлекательных фокусов и трюков, основанных на признаках делимости.

Ознакомить одноклассников с универсальным методом делимости на любое натуральное число.

Объект исследования: делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: применение признаков делимости при решении задач, фокусов и головоломок.

Еще в прошлом году проведя опрос среди учащихся 6 - 8 классов под руководством учителя, было выявлено следующее: 76% учащихся считают математику и фокусы далекими и никак несвязанными друг с другом терминами, 20% опрошенных заявили что математика имеет косвенные связи с фокусами, но не является основой данного направления, а оставшиеся 4% школьников считают, что математика напрямую связана с фокусами и является фундаментом большей части фокусов и трюков.

Исходя из этого я пришла к выводу, что большая часть людей просто не хочет замечать связи математики и фокусов или не считает ее значимой в силу сложившихся на протяжении жизни стереотипов. Одни считают математику и её законы скучными, не способными заинтересовать людей, другие считают, что математика имеет мало практического применения, третьи вообще не имеют желания связывать свою жизнь с математикой. Однако, без математики не обойтись ни в одном деле, она окружает нас везде в школе, дома, на работе, в офисе. Мы сами порой пользуемся плодами технического прогресса, но не желаем признавать, что всем этим мы обязаны математике.

Рассуждая над темой проекта, я предположила:

Гипотеза исследования:

Если изучить признаки делимости натуральных чисел и показать их применение в решении математических задач, фокусов и головоломок, то это повлияет на вычислительные навыки и поможет привлечь внимание к изучению математики.

Новизна проведённой исследовательской работы заключается в том, что

данное направление прежде не рассматривалось основательно, со всей глубиной. Данный проект призван привлечь внимание подростков к изучению математики.

Практическая значимость этого исследования заключается в следующем: В результате привлечения внимания подростков к математике должна возрасти их заинтересованность в данном предмете, что несомненно должно повысить успеваемость учащихся

Методы исследования:

• изучение литературы;
• анализ;
• синтез;
• аналогии;
• сравнение;
• изучение и обобщение опыта.

I. Теоретическая часть

1. 1 Простые числа.

Такие вопросы математики, как делимость натуральных чисел, простые и составные числа, взаимно простые числа, делители и кратные, разложение чисел на простые множители интересовали великих математиков еще с древних времен. Казалось, все давно известно и понятно. Но, когда на уроках математики мы начали изучать эти темы, то мой интерес оказался велик, и мне захотелось некоторые вопросы рассмотреть поподробнее. Например, простые и составные числа, решето Эратосфена, признаки делимости и их применение.

Сначала поговорим о делителях и кратных. Если взять простое равенство a=bc, то очень легко можно дать понятие делителя и кратного. Это равенство дает понятие деления числа а на число в. Ведь, в самом деле:

Число а делится на число b, если существует такое число с,

что выполняется равенство а=bс.

Отсюда легко заметить:

а – кратное

b – делитель

с – частное от деления

А теперь можно задуматься над вопросом: «А сколько делителей может быть у любого числа?»

И в зависимости от ответа мы разделим числа на группы.

1 группа.

Если взять число 6, то его можно разделить на 1, на 2, на 3, на 6. То есть у него 4 делителя. А у числа 16 делители 1, 2, 4, 8, 16 – 4 делителя. И так далее… Это группа чисел, у которых более 2 - х делителей.

2 группа.

Я возьму число 3. Оно делится на 1 и на 3. А число 5 – на 1 и на 5. И так далее… Это группа чисел, у которых только два делителя – это 1 и само число.

3 группа.

И она состоит из одного числа. Это 1. То есть это число, имеющее только 1 делитель.

Таким образом, мы смогли разделить множество натуральных чисел на 3 группы:

Число 1 (имеет один делитель)

Простые числа (имеют в точности два делителя)

Составные числа (имеют больше двух делителей)

Мы часто говорим на уроках, что единица не является ни простым, ни составным числом. А про составное число можно сказать: что его можно разложить на множители, не один из которых не равен 1. Например, 15=3*5. Простое число, напротив, обладает «противоположным» свойством: если оно разложено на два множителя, то один из них равен 1.

Интерес математиков к простым числам был велик. Понятие простого числа было введено Пифагором еще в IV веке до н. э. Пифагор и его ученики изучали вопросы делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Например, 6=1+2+3; 28=1+2+7+4+14 и т. д. В III веке до н. э. Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много, то есть за каждым простым числом есть еще большее простое число. Другой греческий математик того же времени Эратосфен придумал остроумный способ составления списка простых чисел, который иногда используется в практических вычислениях и сегодня. Он записывал все числа от 1 до какого - нибудь числа, вычеркивал из них 1, затем последовательно вычеркивал кратные 2, 3, 5, 7, и т. д. Таким образом, составлялась таблица простых чисел. Еще этот способ называют «решетом Эратосфена, так как на покрытых воском древнегреческих таблицах числа в конце концов выкалывались и таблица напоминала решето. Интересно было дано понятие простых чисел Евклидом. Он определил простые числа так: «Простое число есть измеряемое только единицей».

Таким образом, простые числа – это как бы «кирпичики» для строительства всех натуральных чисел.

Весь материал – смотрите архив.