Презентация по математике "Первообразная и интеграл"

Предложенные учебные задания в презентации способствуют формированию у школьников умения применять знания на практике.

Мультимедийная работа способствует совершенствованию у подростков умения анализировать данные, сравнивать их. Также вызывает потребность в выполнении творческих практических заданий с помощью компьютера.

На экране расположены задания для выполнения в классе. Заранее подготовленные упражнения избавляют учителя от необходимости использовать мел. Крупный шрифт позволяет любому школьнику хорошо видеть учебный материал. Заголовки разделов выделены контрастным цветом и курсивом, что акцентирует учеников на этапе учебного занятия. 

Если для любого х из множества Х выполняется равенство F`(x)=f(x),то функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на данном множестве.

Пример 1.  f(x)=3х.

Пример 2.  f(x)= х^3/3+1. 

F(x)= (3х)^2/2=1,5x^2+C

Если на каком-то промежутке времени F(x) и Ф(х) являются первообразными для одной и той же функции f(x), то на этом промежутке они отличаются друг от друга только на постоянное число.

φ(x)=Ф(x)-F(x).

Первообразная и интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл

Негмеджанова Г.Р

Учитель математики

КГУ «Чеховская средняя школа»

20 октября 2014г

• Если для любого х из множества Х выполняется равенство F`(x)=f(x),то функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на данном множестве

F(x)=

Пример1 . f(x)=3х.

Пример2 . f(x)= .

F(x)=

• Если на каком-то промежутке времени F(x ) и Ф(х) являются первообразными для одной и той же функции f(x), то на этом промежутке они отличаются друг от друга только на постоянное число.

(x)=Ф(x)-F(x)

Таблица первообразных

Функция

Функция

Общий вид первообразных

f(x)=k( k-постоянное число)

f(x)=k( k-постоянное число)

Общий вид первообразных

F(x)= kx+C

f(x)=, n

F(x)= kx+C

F(x)= +C

f(x)=

f(x)= sinx

F(x)=2+C

f(x)= sinx

f(x)= cosx

F(x)= - cosx+C

F(x)= - cosx+C

f(x)= cosx

f(x)=

F(x)= sinx+C

F(x)= sinx+C

F(x)= tgx+C

F(x)= tgx+C

f(x)=

F(x)= - ctgx+C

F(x)= - ctgx+C

• Совокупность всех первообразных функций F(x)+C для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x)

• Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием функции.
• Правило1. Если F(x) есть первообразная для f(x), a P(x) –первообразная для р(х),то F(x)+P(x) есть первообразная для f(x)+р(х). =
• Правило2. Если F(x) есть первообразная для f(x), a k-постоянная , то функция kF(x) –первообразная для kf(x).
• Правило3. Если F(x) есть первообразная для f(x), a k и b постоянные, причем k0, то F(kx+b) есть первообразная для f(kx+b).

Таблица нахождения неопределенных интегралов

+C, n

=2+C

=+C

Найти общий вид первообразных:

1. f(x)=9+sin3x .

Решение . F(x)=cos3x+C=3cos3x+C

2. f(x)=сos2x +2 .

Решение . F(x)=+2x+C

Доказать, что функция у=F(x)является первообразной для функции f(x)

3. F(x)=, f(x)= .

Решение . ==

= + =

=, F(x) =

Площадь криволинейной трапеции

Фигура, ограниченная графиком непрерывной, неотрицательной функции у=f(x), прямыми х=а, х=b и осью Ох, называется криволинейной трапецией.

Формула вычисления площади криволинейной трапеции :

S=F(b)-F(a)

y

y=f(x)

x

а

b

0

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и параболой:

y=1-, y=0

Решение. Построим график функции y=1-

S =F(b)-F(a)

F(x)= x–

S=1–

Ответ: кв.ед

y=-2

Решение. F(x)=

S= =

.

Ответ:

у

1

х

0

-1

1

у

8

6

х

0

-1

3

1

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл обозначают: , который читается: «Интеграл от a до b эф от икс дэ икс». Здесь числа a и b называются пределами интегрирования: а – нижним пределом, b – верхним пределом.

Формула Ньютона – Лейбница: =F(b) – F(a)

=F(x) =F(b)-F(a).

Вычислить интегралы:

• =

= = =

Ответ:

• - -

Ответ: -

Решение. = 5x. 5x .

Ответ: (

Решить неравенство:

Применение определенного

интеграла при решении геометрических и физических задач

• Чтобы определить площадь заштрихованной плоской фигуры нужно из площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y₁=f₁(x), вычесть площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у₂=f₂(x). Тогда искомая площадь: S= – f ₁(x)–f₂(x))

S=f ₁(x)–f₂(x))

S=

y=f ₁(x)

y

y

d

y=f ₂(x)

c

x

a

b

0

0

x

y=

Вычислить площадь фигуры:

• y=, y=2, x=-2, x=1

Решение. Построим график функции: y=. m=- , n=1-2+4=3

Найдем точки пересечения. = x ₁=-2, x₂=2.

у

S==

== =

= 4+4= кв. eд.

3

y=2

Ответ: 6 кв. eд.

x

-2

1

0

• у= у=8, х=1

Решение. Построим график функции у= - кубическая парабола, у=8 – прямая. Найдем точки пересечения 8, х=2.

у

8

S== (

= 16 - 4 - 8+4кв.ед

1

0

х

2

у=

Ответ: 4кв.ед

Негмеджанова Г.Р

Учитель математики

КГУ «Чеховская средняя школа отдела образования акимата Сарыкольского района»

20 октября 2014г

Эл.адрес hexov@yandex.ru