Содержание:
Функции и их графики.
Преобразование графиков функций.
Свойства функций.
Функции.
Линейная функция.
Квадратичная функция.
Степенная функция.
Обратная пропорциональность.
Показательная функция.
Логарифмическая функция.
Тригонометрические функции.
Линейная функция y = kx + b.
b – свободный коэффициент.
k – угловой коэффициент.
k = tg α.
Свойства линейной функции.
y
y
y
b
c
0
x
α
x в
x
x
0
x 1
x 2
у в
Функции и их графики
y
y
y
x
0
x
0
0
x
Автор: Казадаева Н.И.
Содержание
Функции.
Линейная функция
y = kx + b
y
b – свободный
коэффициент
b
k – угловой
коэффициент
α
k = tg α
x
0
Свойства линейной функции
Квадратичная функция
y = ax 2 + bx + c , а ≠ 0
y
c
x в
x
x 2
x 1
0
у в
Свойства квадратичной функции
Степенная функция
y = x n
y
y = x n , где n = 2k, k Z
y = x n , где n = 2k +1 , k Z
1
1
0
x
Свойства степенной функции
0 y = , k x x 0 x Свойства обратной пропорциональности " width="640"
Обратная пропорциональность
y
k
k
y = , k 0
y = , k
x
x
0
x
Свойства обратной пропорциональности
Степенная функция
y = x -n , n – четное
y
1
y =
x 2
0
x
Свойства степенной функции
Степенная функция
y = x -n , n – нечетное
y
1
y =
x 3
0
x
Свойства степенной функции
0, a ≠ 1 y y = a x 0 y = a x a 1 1 0 x Свойства показательной функции " width="640"
Показательная функция
y = a x , а 0, a ≠ 1
y
y = a x
0
y = a x
a 1
1
0
x
Свойства показательной функции
0, a ≠ 1 y y = log a x 0 1 0 x y = log a x a 1 Свойства логарифмической функции " width="640"
Логарифмическая функция
y = log a x , а 0, a ≠ 1
y
y = log a x
0
1
0
x
y = log a x
a 1
Свойства логарифмической функции
Тригонометрические функции y = sin x и y = cos x
y
y = sin x
y = cos x
1
x
0
-1
Свойства функции y = sin x
Свойства функции y = cos x
Тригонометрические функции y = tg x и y = ctg x
у
y = tg x
1
x
0
2 π
− 2 π
− π
π
-1
y = ctg x
Свойства функции y = tg x
Свойства функции y = ctg x
Геометрические преобразования графиков
0 , то происходит смещение Если b , то происходит смещение " width="640"
1 . Преобразование вида y = f(x)+b
— Это параллельный перенос графика функции y = f(x) на b единиц вдоль оси ординат
Если b 0 , то
происходит
смещение
Если b , то
происходит
смещение
1 . Преобразование вида y = f(x)+b
y
y = x 2 + b
y = x 2
b
x
0
0 , то происходит смещение Если а , то происходит " width="640"
2 . Преобразование вида y = f(x – a)
— Это параллельный перенос
графика функции y = f(x) на а единиц вдоль оси абсцисс
смещение
Если а 0 , то
происходит
смещение
Если а , то
происходит
2 . Преобразование вида y = f(x – a)
y
y = x 3
a
x
0
y = (x – a) 3
1, то происходит Растяжение Если , |k| 1, то происходит Сжатие " width="640"
3 . Преобразование вида y = kf(x)
— Это растяжение (сжатие) в k раз
графика функции y = f(x)
вдоль оси ординат
Если , |k| 1, то
происходит
Растяжение
Если , |k| 1, то происходит
Сжатие
у = √х
у = k √х
3 . Преобразование вида y = kf(x)
y
k
1
0
1
x
1, то происходит Сжатие Если , |m| 1, то происходит Растяжение " width="640"
4 . Преобразование вида y = f(mx)
— Это растяжение (сжатие) в m раз графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс
Если , |m| 1, то
происходит
Сжатие
Если , |m| 1, то
происходит
Растяжение
y = x 2
y = (mx) 2
4 . Преобразование вида y = f(mx)
y
1
0
x
1
5. Преобразование вида y = | f ( x ) |
— Это отображение нижней части
графика функции y = f(x) в верхнюю
полуплоскость относительно оси абсцисс
с сохранением верхней части графика
у
y = | f(x) |
0
х
y = f(x)
5. Преобразование вида y = | f ( x ) |
y = kx + b
y = |kx + b|
y
0
x
6. Преобразование вида y = f ( | x | )
— Это отображение правой части графика функции y = f(x) в левую полуплоскость относительно оси ординат с сохранением правой части графика
у
y = f (|x|)
х
0
y = f(x)
6. Преобразование вида y = f ( | x | )
y
k
k
у =
у =
|x|
x
x
0
7 . Преобразование вида | y | = f ( x )
— Это отображение верхней части
графика функции y = f(x) в нижнюю
полуплоскость относительно оси абсцисс
с сохранением только верхней части графика
у
| y | = f(x)
0
х
y = f(x)
7 . Преобразование вида | y | = f ( x )
y = kx + b
|y|= kx + b
y
0
x
Свойства функций
y = sin x y = tg x
y = cos x y = ctg x
0 , то функция возрастает при х (−∞; +∞) . Если k , то функция убывает при х (−∞; +∞) . b k " width="640"
Свойства линейной функции
y = kx + b
1 о D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; +∞) .
2 о Если b = 0 , то функция нечетная .
Если b ≠ 0 , то функция ни четная, ни нечетная .
3 о Если х = 0 , то у = b , если у = 0 , то х = − .
4 о Если k 0 , то функция возрастает при х (−∞; +∞) .
Если k , то функция убывает при х (−∞; +∞) .
b
k
0 , то E(y) = [ у в ; +∞) ; Если a , то E(y) = ( − ∞; у в ] . 3 о Если b = 0 , то функция четная . Если b ≠ 0 , то функция ни четная, ни нечетная . 4 о Если х = 0 , то у = c , если у = 0 , то х 1,2 = 5 о Если a 0 , то функция возрастает при х [x в ; +∞) ; функция убывает при х(− ∞; х в ] . Если a , то функция возрастает при х(− ∞; х в ] ; функция убывает при х [x в ; +∞) . - b ± √ b 2 -4ac 2a Подробнее " width="640"
Свойства квадратичной функции
y = ax 2 + bx + c, а ≠ 0
1 о D(y) = ( − ∞; +∞) .
2 о Если a 0 , то E(y) = [ у в ; +∞) ;
Если a , то E(y) = ( − ∞; у в ] .
3 о Если b = 0 , то функция четная .
Если b ≠ 0 , то функция ни четная, ни нечетная .
4 о Если х = 0 , то у = c , если у = 0 , то х 1,2 =
5 о Если a 0 , то функция возрастает при х [x в ; +∞) ;
функция убывает при х(− ∞; х в ] .
Если a , то функция возрастает при х(− ∞; х в ] ;
функция убывает при х [x в ; +∞) .
- b ± √ b 2 -4ac
2a
Подробнее
![Свойства степенной функции y = x n Если n = 2k , где k Z 1 о D(y)=( − ∞; +∞). 2 о E(y)=[ 0 ; +∞). 3 о Функция четная. Если n = 2k +1 , где k Z 1 о D(y)=( − ∞; +∞). 2 о E(y)=( − ∞; +∞). 3 о Функция нечетная. 4 о Если х = 0, то у = 0. 5 о Функция возрастает 4 о Если х = 0, то у = 0. 5 о Функция возрастает при х [0 ; +∞); убывает при х(− ∞; 0] . при х(− ∞; +∞) .](https://fsd.videouroki.net/html/2015/04/28/98710587/img31.jpg)
Свойства степенной функции
y = x n
Если n = 2k , где k Z
1 о D(y)=( − ∞; +∞).
2 о E(y)=[ 0 ; +∞).
3 о Функция четная.
Если n = 2k +1 , где k Z
1 о D(y)=( − ∞; +∞).
2 о E(y)=( − ∞; +∞).
3 о Функция нечетная.
4 о Если х = 0, то у = 0.
5 о Функция возрастает
4 о Если х = 0, то у = 0.
5 о Функция возрастает
при х [0 ; +∞);
убывает при х(− ∞; 0] .
при х(− ∞; +∞) .
0 , то функция убывает при х(− ∞; 0) u (0; +∞). Если k , то функция возрастает при х(− ∞; 0) u (0; +∞) . " width="640"
k
Свойства обратной пропорциональности
у =
x
1 о D(y) = ( − ∞; 0) u (0; +∞)
2 о E(y) = ( − ∞; 0) u (0 ; +∞)
3 о Функция нечетная.
4 о х ≠ 0, у ≠ 0.
5 о Если k 0 , то функция убывает
при х(− ∞; 0) u (0; +∞).
Если k , то функция возрастает
при х(− ∞; 0) u (0; +∞) .
Свойства степенной функции
y = x - n
Если n = 2k , где k Z
1 о D(y)=( − ∞; 0) U (0 ; +∞).
2 о E(y)=( 0 ; +∞).
3 о Функция четная.
Если n = 2k +1 , где k Z
1 о D(y)=( − ∞; 0)U(0; +∞).
2 о E(y)=( − ∞; 0)U(0; +∞).
3 о Функция нечетная.
4 о Если х = 1 , то у = 1.
5 о Функция возрастает
4 о Если х = 1 , то у = 1 ;
при х(− ∞; 0);
убывает при х (0 ; +∞) .
если х = -1, то у = -1.
6 º функция ограничена
5 о Функция убывает
снизу прямой у = 0.
при х(− ∞; 0) ; (0; +∞) .
6 º Функция не
ограничена
0, a ≠ 1 1 о D(y)=( − ∞; +∞). 2 о E(y)= (0 ; +∞). 3 о Функция ни четная, ни нечетная . 4 о Если х = 0 , то у = 1 . 5 о Если а 1 , то функция возрастает при х(− ∞; +∞) . Если 0 а , то функция убывает при х(− ∞; +∞) . Подробнее " width="640"
Свойства показательной функции
y = a x , а 0, a ≠ 1
1 о D(y)=( − ∞; +∞).
2 о E(y)= (0 ; +∞).
3 о Функция ни четная, ни нечетная .
4 о Если х = 0 , то у = 1 .
5 о Если а 1 , то функция возрастает
при х(− ∞; +∞) .
Если 0 а , то функция убывает
при х(− ∞; +∞) .
Подробнее
0, a ≠ 1 1 о D(y)= (0 ; +∞). 2 о E(y)= ( − ∞; +∞). 3 о Функция ни четная, ни нечетная . 4 о Если х = 1 , то у = 0 . 5 о Если а 1 , то функция возрастает при х(0 ; +∞) . Если 0 а , то функция убывает при х(0 ; +∞) . Подробнее " width="640"
Свойства логарифмической функции y = log a x , а 0, a ≠ 1
1 о D(y)= (0 ; +∞).
2 о E(y)= ( − ∞; +∞).
3 о Функция ни четная, ни нечетная .
4 о Если х = 1 , то у = 0 .
5 о Если а 1 , то функция возрастает
при х(0 ; +∞) .
Если 0 а , то функция убывает
при х(0 ; +∞) .
Подробнее
![Свойства функции y = sin x 1 о D(y)=( − ∞; +∞) . 2 о E(y)=[−1; 1] . 3 о Функция нечетная . 4 о Если х = 0 , то у = 0 . 5 о Функция возрастает при Функция убывает при 6 о π π х [ − +2 π n; +2 π n] . 2 2 π 3 π х [ +2 π n; +2 π n] . 2 2 π π x max = +2 π n ; x min = − +2 π n , где nZ. 2 2 Подробнее](https://fsd.videouroki.net/html/2015/04/28/98710587/img36.jpg)
Свойства функции
y = sin x
1 о D(y)=( − ∞; +∞) .
2 о E(y)=[−1; 1] .
3 о Функция нечетная .
4 о Если х = 0 , то у = 0 .
5 о Функция возрастает при
Функция убывает при
6 о
π
π
х [ − +2 π n; +2 π n] .
2
2
π
3 π
х [ +2 π n; +2 π n] .
2
2
π
π
x max = +2 π n ;
x min = − +2 π n , где nZ.
2
2
Подробнее
![Свойства функции y = cos x 1 о D(y)=( − ∞; +∞). 2 о E(y)=[−1; 1]. 3 о Функция четная . 4 о Если х = 0 , то у = 1 . 5 о Функция возрастает при х [− π +2 π n;2 π n] , nZ . Функция убывает при х [2 π n; Π +2 π n] , где nZ . 6 o x max = 2 π n ; x min = π + 2 π n , где nZ . Подробнее](https://fsd.videouroki.net/html/2015/04/28/98710587/img37.jpg)
Свойства функции
y = cos x
1 о D(y)=( − ∞; +∞).
2 о E(y)=[−1; 1].
3 о Функция четная .
4 о Если х = 0 , то у = 1 .
5 о Функция возрастает при х [− π +2 π n;2 π n] , nZ .
Функция убывает при х [2 π n; Π +2 π n] , где nZ .
6 o x max = 2 π n ; x min = π + 2 π n , где nZ .
Подробнее
Свойства функции
y = tg x
π
π
1 о D(y)= где nZ .
2 о E(y)=( − ∞; +∞).
3 о Функция нечетная .
4 о Если х = 0 , то у = 0 .
5 о Функция возрастает при х
где nZ .
6 o Экстремумов нет.
(− + π n; + π n ),
2
2
π
π
(− + π n; + π n ) ,
2
2
Подробнее
Свойства функции
y = ctg x
1 о D(y)= ( π n; π + π n), где nZ
2 о E(y)=( − ∞; +∞).
3 о Функция нечетная .
4 о х ≠ 0; у = 0 если х , где nZ .
5 о Функция убывает при х( π n; π + π n) , где nZ .
6 o Экстремумов нет.
π
= + π n
2
Подробнее
-80%
Презентация по алгебре на тему "Функции, их свойства и графики" (1 MB)
0
2731
556
Нравится
0
Получите свидетельство
Вход
