Площади фигур. Задание №17 ОГЭ

Подготовка к ОГЭ 2024 ( площади фигур, задание №17)

Многоугольники

Параллелограмм

В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Параллелограмм

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Сумма углов, прилегающих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.

Параллелограмм

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

S=absinα

Прямоугольник и квадрат

Все углы прямоугольника – прямые, а противоположные стороны – равны .

Диагонали прямоугольника равны и точкой

пресечения делятся пополам.

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Периметр квадрата:

По теореме Пифагора:

Трапеция

Сумма углов, прилегающих к боковой стороне трапеции, равна 180°.

У прямоугольной трапеции один из углов прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

Ромб

В ромбе все стороны равны и противоположные углы равны.

Сумма углов, прилегающих к одной стороне ромба, равна 180°.

Диагонали ромба делят его углы пополам.

Периметр ромба:

Площадь ромба равна…

а) произведению его стороны на высоту :

б) произведению двух его сторон на синус угла между ними :

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны :

Дополнительная информация

Биссектриса делит угол пополам.

Если две параллельные прямые пересечены секу- щей, то:

а) сумма односторонних углов равна 180 ᴼ :

б) накрест лежащие углы равны:

Сумма углов треугольника равна 180°:

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

Теорема Пифагора : в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Площадь прямоугольного треугольника равна

половине произведения его катетов:

Углы подобных треугольников соответственно равны и стороны одного треугольника пропор- циональны сходственным сторонам другого:

Квадрат:

1.Сторона квадрата равна 10. Найдите его площадь.

2.Из квадрата вырезали прямоугольник .Найдите площадь получившейся фигуры.

3.Периметр квадрата равен 160. Найдите площадь квадрата

4.Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

5.Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 83.

6. площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 7.

Параллелограмм:

1.Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

2.Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.

3.Периметр ромба равен 40, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.

3.Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а синус одного из углов . Найдите площадь параллелограмма.

4.Площадь параллелограмма  ABCD  равна 56. Точка  E  — середина стороны  CD . Найдите площадь трапеции  AECB .

Диагональ АС делит пар-м на два равных треугольника АВС и АСД. Площадь каждого из них равна 56/2=28. АЕ является медианой треугольника АСД, которая делит его на два равных по площади треугольника АЕС и АДЕ, каждый по 14, тогда искомая площадь трапеции равна 28+14=42.

5.Сторона ромба равна 9, а расстояние от центра ромба до неё равно 1. Найдите площадь ромба.

6.Высота  BH  параллелограмма  ABCD  делит его сторону  AD  на отрезки  AH  = 1 и  HD  = 28. Диагональ параллелограмма  BD  равна 53. Найдите площадь параллелограмма.

7.Площадь параллелограмма  ABCD  равна 132. Точка  E  — середина стороны  AB . Найдите площадь треугольника  CBE .

Треугольники общего вида 

1.В треугольнике одна из сторон равна 10, а опущенная на нее высота — 5. Найдите площадь треугольника.

2.В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен 60°. Найдите площадь треугольника.

3.Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

4.В треугольнике  ABC  отрезок  DE  — средняя линия. Площадь треугольника  CDE  равна 97. Найдите площадь треугольника  ABC .

5.На стороне  AC  треугольника  ABC  отмечена точка  D  так, что  AD  = 3,  DC  = 7. Площадь треугольника  ABC  равна 20. Найдите площадь треугольника  BCD .

Треугольники  ABC  и  BCD  имеют общую вершину  B , а их основания лежат на одной прямой, следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

6.Прямая, параллельная стороне  AC  треугольника  ABC , пересекает стороны  AB  и  BC  в точках  M  и  N  соответственно,  AC  = 18,  MN  = 8. Площадь треугольника  ABC  равна 81. Найдите площадь треугольника  MBN .

7.Периметр треугольника равен 50, одна из сторон равна 20, а радиус вписанной в него окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

1.В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

2.Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100.

3.В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника

Равнобедренный треугольник

1.Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь, делённую на .

2.В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — , а угол, лежащий напротив основания, равен 30°. Найдите площадь треугольника.

3.Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника.

4.Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона — 78. Найдите площадь треугольника.

Трапеция

1.Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

2.Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

3.Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

4.Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а синус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.

5.В трапеции  ABCD  известно, что  AD  = 4,  BC  = 1, а её площадь равна 35. Найдите площадь треугольника  ABC .

6.В трапеции  ABCD  известно, что  AD  = 5,  BC  = 1, а её площадь равна 51. Найдите площадь трапеции  BCNM , где  MN  – средняя линия трапеции  ABCD .

Круг и его части

1.Радиус круга равен 1. Найдите его площадь,  деленную на π .

2.Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен 3, а угол сектора равен 120°. В ответе укажите площадь,  деленную на π .

3.Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна 6 π , а угол сектора равен 120°. В ответе укажите площадь,  деленную на π .