Статья на тему "Формирование дивергентных умений на уроках математики"

Обучение, согласно ФГОС, больше не заключается в том, что ученик получает от учителя некую информацию и осваивает её. Сегодня ученику необходимо самостоятельно строить своё знание, добывать информацию, критично оценивать свои действия.

В настоящее время все более актуальным в образовательном процессе становится использование методов, которые формируют умения самостоятельно добывать знания, собирать необходимую информацию, выдвигать гипотезы, делать выводы и умозаключения, сравнивать. Это требует достаточного уровня сформированности некоторых мыслительных качеств, в частности дивергентности.

В различных источниках дивергентное мышление трактуется следующим образом.

В википедии [1] даётся следующее определение: "Дивергентное мышление (от лат. divergere – расходиться) — метод творческого мышления, применяемый обычно для решения проблем и задач. Заключается в поиске множества решений одной и той же проблемы. Исследованиями дивергентного мышления занимались Д. Гилфорд, К. Тейлор, Г. Груббер, И. Хайн, А. Б. Шнедер, Д. Роджерс."

По Дж. Гилфорду [2,3], дивергентное мышление есть мышление, направленное на поиск разнообразных логиче­ских возможностей, мышление, идущее в различных направлениях. Основанием дивергентного мышления явля­ется порождение множества решений на основе однозначных данных. Дивергентные способности (divergence), дивергентные операции, дивергентное мышление ‑ термины, раскрываемые Дж. Гилфордом для описания про­цесса выдвижения различных и в равной мере правильных идей относительно одного и того же объекта или при решении одной и той же задачи.

А. Н. Иванов в своем исследовании пришел к выводу, что понятие «дивергентное мышление» в самом общем виде отражает способность к видению альтернатив, а дивергентность есть особое качество мышления, позволяющее видеть несколько путей решения проблемы. Собственно «дивергентность мышления – это умение найти несколько способов решения задачи, способность увидеть вариативность ответов и решений» [3, с. 97].

Считается, что дивергентное мышление является одним из компонентов творчества. Учитывая специфику обучения математике в школе, дивергентные умения можно охарактеризовать быстротой поиска разнообразных путей решения задачи и высказывания идей, допускающих различные неожиданные ассоциативные переходы, гибкостью, оригинальностью и точностью, лаконичностью итоговой мысли. К дивергентным умениям в контексте работы с математическими задачами можно отнести:

- умение анализировать исходные данные задачи и верно их интерпретировать;

- умение изменять направление поиска в процессе нахождения ответов на различные вопросы;

- умение генерировать различные пути решения проблемы, что может приводить к неожиданным результатам;

- умение находить альтернативные по отношению к приведенным пути решения проблемы;

- умение самоопределяться в ситуации неопределенности;

- умение системно и целостно подходить к решению поставленной проблемы и др.

Например, задача ОГЭ [4, стр.13] : "Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке", имеет сразу несколько способов решения.

Первый - графический - используется учениками начальной школы. Вся фигура разбивается на квадратики, подсчитывается количество целых квадратиков (25), а  "неполные" квадратики выделяют в два треугольника, каждый из которых дополняют до прямоугольника (в состав которого входят два одинаковых искомых треугольника) и, вспоминая состав числа (10 = 5+5; 20 = 10+10), находят площадь "полных" квадратиков (15). В итоге получается 40.

Второй - геометрический - доступен ученикам средней школы, изучившим площади геометрических фигур. Дополняем трапецию до прямоугольника со сторонами 11 ед. и 5 ед.  Площадь такого прямоугольника находится легко и составляет 55 ед.кв. Остаётся отнять от этой площади площади двух треугольников, равные соответственно 1/2*2*5 = 5 и 1/2*4*5 = 10. Таким образом получаем снова: 55 - 5 - 10 =40.

Третий - аналитический: необходимо подставить в формулу площади трапеции соответствующие значения оснований (5 и 11) и высоты (5). Таким образом, 1/2*(5+11)*5 = 40.

Приведённое задание способствует умению самоопределяться в ситуации неопределённости, так как в самом условии задания не оговаривается, каким именно способом необходимо решить поставленную задачу. Это даёт простор для анализа условия задачи и поиска пути её решения, после чего требуется самоопределиться с путём достижения ответа.

Но если наша цель - развитие дивергентного мышления у учащихся, то эту задачу следует переформулировать следующим образом: "Найдите несколькими способами площадь трапеции, изображённой на рисунке". В этом случае задача становится направленной на формирование именно поиска различных одинаково правильных путей решения, т.е. на формирование дивергентных умений. В этом случае ни одно из решений не отвергается, так как основная цель - предложить как можно больше путей решения данной задачи, а не сравнивать их по степени трудности.

Эту же цель - развитие дивергентного мышления, можно реализовать при решении квадратных уравнений. Задание будет выглядеть так: решите квадратное уравнение несколькими аналитическими способами.

х² - 6*х + 8 = 0

Представляется возможным решение четырьмя различными способами.

Первый - метод выделения полного квадрата.

х² - 6*х + 8 = 0

х² - 2*х*3 + 3² - 1²  = 0

(х-3)² - 1² = 0

(х-3+1) (х-3-1) = 0

(х-4) ( х-2) = 0

х₁ = 4;  х₂ = 2

Второй - метод разложения на множители.

х² - 6*х + 8 = 0

х² - 2х - 4х + 8 =0

Весь материал - в документе.

ФОРМИРОВАНИЕ ДИВЕРГЕНТНЫХ УМЕНИЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.

Обучение, согласно ФГОС, больше не заключается в том, что ученик получает от учителя некую информацию и осваивает её. Сегодня ученику необходимо самостоятельно строить своё знание, добывать информацию, критично оценивать свои действия.

В настоящее время все более актуальным в образовательном процессе становится использование методов, которые формируют умения самостоятельно добывать знания, собирать необходимую информацию, выдвигать гипотезы, делать выводы и умозаключения, сравнивать. Это требует достаточного уровня сформированности некоторых мыслительных качеств, в частности дивергентности.

В различных источниках дивергентное мышление трактуется следующим образом.

В википедии [1] даётся следующее определение:" Диверге́нтное мышление (от лат. divergere – расходиться) — метод творческого мышления, применяемый обычно для решения проблем и задач. Заключается в поиске множества решений одной и той же проблемы. Исследованиями дивергентного мышления занимались Д. Гилфорд, К. Тейлор, Г. Груббер, И. Хайн, А. Б. Шнедер, Д. Роджерс."

По Дж. Гилфорду [2,3], дивергентное мышление есть мышление, направленное на поиск разнообразных логиче­ских возможностей, мышление, идущее в различных направлениях. Основанием дивергентного мышления явля­ется порождение множества решений на основе однозначных данных. Дивергентные способности (divergence), дивергентные операции, дивергентное мышление ‑термины, раскрываемые Дж. Гилфордом для описания про­цесса выдвижения различных и в равной мере правильных идей относительно одного и того же объекта или при решении одной и той же задачи.

А. Н. Иванов в своем исследовании пришел к выводу, что понятие «дивергентное мышление» в самом общем виде отражает способность к видению альтернатив, а дивергентность есть особое качество мышления, позволяющее видеть несколько путей решения проблемы. Собственно «дивергентность мышления – это умение найти несколько способов решения задачи, способность увидеть вариативность ответов и решений» [3, с. 97].

Считается, что дивергентное мышление является одним из компонентов творчества. Учитывая специфику обучения математике в школе, дивергентные умения можно охарактеризовать быстротой поиска разнообразных путей решения задачи и высказывания идей, допускающих различные неожиданные ассоциативные переходы, гибкостью, оригинальностью и точностью, лаконичностью итоговой мысли. К дивергентным умениям в контексте работы с математическими задачами можно отнести:

- умение анализировать исходные данные задачи и верно их интерпретировать;

-умение изменять направление поиска в процессе нахождения ответов на различные вопросы;

- умение генерировать различные пути решения проблемы, что может приводить к неожиданным результатам;

-умение находить альтернативные по отношению к приведенным пути решения проблемы;

-умение самоопределяться в ситуации неопределенности;

-умение системно и целостно подходить к решению поставленной проблемы и др.

Например, задача ОГЭ [4, стр.13] : "Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке", имеет сразу несколько способов решения.

Первый - графический - используется учениками начальной школы. Вся фигура разбивается на квадратики, подсчитывается количество целых квадратиков (25), а "неполные" квадратики выделяют в два треугольника, каждый из которых дополняют до прямоугольника (в состав которого входят два одинаковых искомых треугольника) и, вспоминая состав числа (10 = 5+5; 20 = 10+10), находят площадь "полных" квадратиков (15). В итоге получается 40.

Второй - геометрический - доступен ученикам средней школы, изучившим площади геометрических фигур. Дополняем трапецию до прямоугольника со сторонами 11 ед. и 5 ед. Площадь такого прямоугольника находится легко и составляет 55 ед.кв. Остаётся отнять от этой площади площади двух треугольников, равные соответственно 1/2*2*5 = 5 и 1/2*4*5 = 10. Таким образом получаем снова: 55 - 5 - 10 =40.

Третий - аналитический: необходимо подставить в формулу площади трапеции соответствующие значения оснований (5 и 11) и высоты (5). Таким образом, 1/2*(5+11)*5 = 40.

Приведённое задание способствует умению самоопределяться в ситуации неопределённости, так как в самом условии задания не оговаривается, каким именно способом необходимо решить поставленную задачу. Это даёт простор для анализа условия задачи и поиска пути её решения, после чего требуется самоопределиться с путём достижения ответа.

Но если наша цель - развитие дивергентного мышления у учащихся, то эту задачу следует переформулировать следующим образом: "Найдите несколькими способами площадь трапеции, изображённой на рисунке". В этом случае задача становится направленной на формирование именно поиска различных одинаково правильных путей решения, т.е. на формирование дивергентных умений. В этом случае ни одно из решений не отвергается, так как основная цель - предложить как можно больше путей решения данной задачи, а не сравнивать их по степени трудности.

Эту же цель - развитие дивергентного мышления, можно реализовать при решении квадратных уравнений. Задание будет выглядеть так: решите квадратное уравнение несколькими аналитическими способами.

х² - 6*х + 8 = 0

Представляется возможным решение четырьмя различными способами.

Первый - метод выделения полного квадрата.

х² - 6*х + 8 = 0

х² - 2*х*3 + 3² - 1² = 0

(х-3)² - 1² = 0

(х-3+1) (х-3-1) = 0

(х-4) ( х-2) = 0

х₁ = 4; х₂ = 2

Второй - метод разложения на множители.

х² - 6*х + 8 = 0

х² - 2х - 4х + 8 =0

(х - 2) х - (х - 2) 4 = 0

(х - 2) (х - 4) = 0

х₁ = 2; х₂ = 4

Третий способ - решение квадратного уравнения через дискрименант.

х² - 6*х + 8 = 0

D = b² - 4ac

D = (-6)² - 4*1*8 = 36 - 32 = 4

_

х_1,2 = _

х₁ = 2; х₂ = 4

Четвёртый способ - решение с помощью теоремы Виета.

При а = 1, решение находится по формуле: х₁ + х₂ = -b

х₁ * х₂ = c,

тогда х₁ + х₂ = -(-6) = 6

х₁ * х₂ = 8, нетрудно догадаться, что х₁ = 2; х₂ = 4.

Основной формой организации учебного процесса с целью формирования указанных умений, мне видится учебный диалог, поскольку в процессе поиска пути решения проблемы в диалоговой форме умения применяются не хаотично, а в определённой последовательности, включающей чередование индивидуального и группового поиска.

Организация учебного диалога может быть использована на разных этапах урока. В начале и в конце урока целесообразно использование многовариантных задач, задач на проведение аналогий, на приведение примеров из реальной жизни. В процессе урока - задания на поиски закономерностей, задачи практического содержания, задачи на поиск различных путей решения.

Формирование дивергентных умений на уроках математики способствует выработке дивергентного мышления, которое имеет большую востребованность в современном обществе. Яркими примерами дивергентного мышления являются мозговые штурмы и популярные интеллектуальные игры. Дивергентное мышление – это мышление «идущее одновременно во многих направлениях», оно направлено на то, чтобы породить множество различных вариантов решения задачи. Оно служит средством порождения оригинальных творческих идей, лежит в основе креативности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Википедия [https://ru.wikipedia.org/wiki]

2. интернет-ресурс [http://vikent.ru/enc/1802/]

3. http://www.rusnauka.com/23_WP_2011/Psihologia/7_91196.doc.htm

4. Иванов А. Н. Система специальных заданий как дидактическое средство развития дивергентного мышления млад­ших школьников. Дис. … канд. пед. н. Мурманск, 2007. 121 с.

5. ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты:36 вариантов / под ред. И.В.Ященко. - М.: Издательство "Национальное образование", 2015. - 224 с. - (ОГЭ. ФИПИ - школе).