Определение и свойства логарифмов

Преподаватель математики

ГБОУ Лицей № 281

Адмиралтейского района

г. Санкт-Петербурга

Корнилова И.Ф.

Решить уравнение

y

Очевидно уравнение имеет

единственное решение, но с

помощью графика корень можно

определить только приближённо

5

Показатель степени в которую нужно

возвести число 2 , чтобы получить

число 5 назвали логарифмом пяти

по основанию два.

1

0

x

Обозначают

Очевидно

Рассмотрим уравнение , где

y

Уравнение имеет

единственное решение,

Показатель степени в которую нужно

возвести число a , чтобы получить

число b назвали логарифмом b

по основанию a .

1

0

x

Обозначают

2

Определение. Логарифмом числа

по основанию , где

называется показатель степени

в которую надо возвести ,

чтобы получить .

Например

т.к.

т.к.

т.к.

3

Определение. Логарифмом числа

по основанию , где

называется показатель степени

в которую надо возвести ,

чтобы получить .

Из определения логарифма следует:

1.

2. Условия существования логарифма

имеет смысл, если

Определение. Логарифмом числа

по основанию , где

называется показатель степени

в которую надо возвести ,

чтобы получить .

Из определения логарифма следует:

• основное

логарифмическое

тождество

3.

Например

- логарифм b по основанию a .

b – число под знаком

логарифма

a – основание логарифма,

Особые обозначения

- десятичный логарифм

1.

Очевидно

- натуральный логарифм

2.

• Примеры вычисления логарифмов с помощью

определения.

Задания для самостоятельного решения.

Ответ

Ответ

Ответ

II. Примеры вычислений с помощью основного

логарифмического тождества.

Задания для самостоятельного решения.

Ответ

Ответ

Ответ

III. Примеры нахождения области определения

выражения, содержащего логарифмы.

имеет смысл, если

При каких значениях x имеет смысл выражение

-

-

+

x

3

5

Ответ

При каких значениях x имеет смысл выражение

x

-2,5

-2

Ответ

При каких значениях x имеет смысл выражение

+

+

-

x

3

5

x

-1

-2

Ответ

IV . Решение логарифмических уравнений с помощью

определения логарифма.

1. Уравнения вида

ОДЗ

по опр. лог.

Условие ОДЗ выполняется, т.к.

Значит в уравнениях такого вида преобразования по

определению логарифма приводит к равносильному

уравнению.

Множество корней уравнения не изменяется,

таким образом при решении можно не ограничивать

ОДЗ и не делать проверку.

Пример.

ОДЗ

Очевидно условие ОДЗ

выполняется.

Ответ: -4; 0,5

ОДЗ

2. Уравнения вида

по опр. лог.

ОДЗ может расшириться, а это, возможно, приведёт к

появлению посторонних корней.

Значит в уравнениях такого вида преобразования

по определению логарифма приводит к

уравнению - следствию .

При решении обязательно ограничивать ОДЗ или

делать проверку .

ОДЗ

ОДЗ

Пример.

А можно и по другому

- п.к.

- п.к.

Ответ: 5

Пусть

1.

2.

Пусть

- некоторые числа

3.

4.

Следствия

v. Примеры вычислений с помощью свойств логарифмов .

Ответ 3

v. Примеры вычислений с помощью свойств логарифмов .

Ответ - 4

v. Примеры вычислений с помощью свойств логарифмов .

Ответ

Задания для самостоятельного решения.

Ответ 3

1.

Ответ -1

2.

3.

Ответ 0,5

1.

3.

2.

v. Примеры вычислений с помощью свойств логарифмов .

Ответ

v. Примеры вычислений с помощью свойств логарифмов .

Ответ

Задания для самостоятельного решения.

1.

Ответ

2.

Ответ

1.

2.

VI . Нахождение значения выражения по его логарифму.

Найти x , если

Ответ

Задания для самостоятельного решения.

Ответ 7

Ответ 20