МКОУ СОШ № 7
Г. Кизилюрт
Открытый урок
по теме :
«Правильные многогранники»
Подготовила :
Магомедова Елена Магомедтагировна
План-конспект урока
Тема урока: « Правильные многогранники»
Класс: 10
Тип урока: обобщение и систематизация знаний.
Цели урока:
1. Повторить и обобщить теоретический материал по теме «Многогранники».
2. Ввести понятие правильного многогранника, рассмотреть все пять видов правильных многогранников.
3. Способствовать развитию пространственного воображения и графической грамотности.
4. Способствовать воспитанию эстетического вкуса и интереса к предмету.
Межпредметные связи: информатика, химия, биология, история.
Дидактический материал: видео- презентация «Правильные многогранники», модели правильных многогранников.
Раздаточный материал: индивидуальные карточки-задания, листы с тестами, заготовки для выполнения моделей правильного многогранника
Применяемые формы и методы: работа в группах, самоконтроль, фронтальный опрос, демонстрация, творческая работа, тест.
Оборудование:
1. Учебник. Геометрия, 10-11 классы.
2. Компьютеры, мультимедийный проектор, модели многогранников.
3. Репродукции картин Сальвадора Дали «Тайная вечеря», А. Дюрера «Меланхолия»
4. Заготовки для выполнения моделей правильного многогранника.
Правильных многогранников вызывающе мало,
но этот весьма скромный по численности отряд сумел
пробиться в самые глубины различных наук.
Л. Кэролл
Ход урока:
1.Фронтальный опрос:
а) дайте понятие многогранника.
б) какие многогранники вы знаете?
в) что такое выпуклый многогранник?
г) что такое призма? Правильная призма?
д) площадь поверхности призмы.
е) что такое пирамида? Правильная пирамида?
ж) площадь поверхности пирамиды.
з ) усеченная пирамида, площадь поверхности.
и) виды симметрии в пространстве.
2.Изучение нового материала.:
1) Вступительное слово учителя.
Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книг о многогранниках.
В геометрии10класса мы с вами изучили разные виды многогранников: тетраэдр, параллелепипед, пирамиды, призмы. Но ни одно геометрическое тело не обладает такой красотой, как правильные многогранники, с которыми мы познакомимся на сегодняшнем уроке.
2) Исторические сведения.
С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.
История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Изучением правильных многогранников занимались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях.
Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами. Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя "земными" элементами. Он считал, что мир строится из четырёх «стихий» – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.
Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени.
Икосаэдр – как самый обтекаемый – воду.
Куб – самая устойчивая из фигур – землю.
Октаэдр – воздух.
В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным.
Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.
Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.
Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней:
«эдра» - грань
«тетра» - 4
«гекса» - 6
«окта» - 8
«икоса» - 20
«додека» - 12
Знаменитый математик и астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер.
3) Ввод понятия правильного многогранника.
1) Нами уже использовались словосочетания “правильные призмы” и “правильные пирамиды”. Оказывается, новая комбинация знакомых понятий образует совершенно новое с геометрической точки зрения понятие. Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными? Послушайте внимательно определение.
Многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число граней
правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны.
Вывод. Многогранник называется правильным , если:
он выпуклый
все его грани являются равными правильными многоугольниками
в каждой его вершине сходится одинаковое число граней
все его двугранные углы равны
2)Докажем, что существует только 5 видов правильных многогранников. Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще
n-угольники при n≥ 6.
3) Знакомство с видами правильных многогранников.
ТЕТРАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из четырех правильных треугольников.
ГЕКСАЭДР (КУБ) – правильный многогранник, поверхность которого состоит из шести правильных четырехугольников (квадратов).
ОКТАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из восьми правильных треугольников.
ИКОСАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двадцати правильных треугольников.
ДОДЕКАЭДР – правильный многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати правильных пятиугольников.
4) Математические свойства правильных многогранников Исследовательская работа “Формула Эйлера”
Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу (раздаточный материал).Работа на карточках . Проверим результаты заполнения таблицы .
| Правильный многогранник | Число граней | Число вершин | Число ребер | Г+В-Р |
| Тетраэдр | 4 | 4 | 6 | 2 |
| Куб | 6 | 8 | 12 | 2 |
| Октаэдр | 8 | 6 | 12 | 2 |
| Додекаэдр | 12 | 20 | 30 | 2 |
| Икосаэдр | 20 | 12 | 30 | 2 |
Анализируя таблицу, возникает вопрос:“Есть ли закономерность в возрастании чисел в каждом столбце?” По-видимому, нет.
Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В). Заполните четвертый столбец Г+В (число граней плюс число вершин).
Вот теперь видна закономерность.
Сформулируем её так: “Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 ”, т.е.
Г + В = Р + 2. или
Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2.
Г + В – Р = 2
Итак, мы вместе сделали открытие, мы “открыли” формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Этот гениальный учёный, родившийся в Швейцарии почти всю жизнь прожил в России, и мы с гордостью можем считать его своим соотечественником.
Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников .Это соотношение называют Эйлерова характеристика.
Можно проверить, что эта формула справедлива не только для правильных, но и для любых выпуклых многогранников, например, для призмы.
5) Сообщения учащихся:
Правильные многогранники в природе .
Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр .
Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.
Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.
Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.
При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами (K[Al(SO4)2] × 12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.
Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.
В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.
Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.
6) Правильные многогранники в искусстве .
Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452 – 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах.
Сальвадор Дали на картине “Тайная вечеря” изобразил И.Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.
Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471-1528) в известной гравюре “Меланхолия”, на переднем плане также изобразил додекаэдр.
Сообщение по теме: «Кубок Кеплера»
Иоганн Кеплер (1571 – 1630)-немецкий математик, астроном, механик, оптик и астролог, первооткрыватель законов движения планет Солнечной системы, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.
Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.
«Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли»
Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.
Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.
7).Подведение итогов урока:
Учитель: В геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, мыслить, рассуждать и делать выводы. Давайте сделаем выводы из нашего урока:
Выразите своё отношение к изучению главы «Многогранники».
Какие многогранники мы будем изучать в этой главе?
Существуют ли многогранники в окружающем нас мире?
При изучении каких школьных предметов могут использоваться свойства многогранников?
Приведите примеры многогранников созданных человеком и природой.
На каком этапе урока вам пригодился собственный жизненный опыт?
Справились ли мы с поставленными задачами урока?
Кроме того, сформулируем девиз нашего урока: оказывается, что приобретать знания – храбрость, приумножать их – мужество, а умело применять – искусство! Так что все мы сегодня кроме знаний приобрели сегодня ещё и эти прекрасные качества личности.
7) Домашнее задание:
склеить модели правильных многогранников на выбор по их разве
Получите свидетельство
Вход
Правильные многогранники (конспект) (31.92 КB)
0
2001
265
Нравится
0
