Логарифмы и их свойства

Дидактическая цель

1. дать понятие логарифма с произвольным основанием;

2. сформировать навыки вычисления логарифмов по определению;

3. овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы логарифмирования и потенцирования, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;

4. дать понятие натурального и десятичного логарифма;

5. овладеть умением вычислять логарифмы с помощью микрокалькулятора.

Основные знания и умения

Студенты должны

знать:

 - определение логарифма числа;

- основное логарифмическое тождество;

- свойства логарифмов;

- определение  натурального и десятичного логарифма;

- формулу перехода к новому основанию;

уметь:

- логарифмировать выражения по данному основанию;

- вычислять значения простейших логарифмических выражений, используя определение и свойства логарифма;

- решать простейшие логарифмические уравнения;

На определение логарифма возможны три типа упражнений:

- на определение логарифма по данному числу и данному основанию;

- определение основания логарифмирования по числу и логарифму;

- определение числа по логарифму и основанию.

Презентация содержит 38 слайдов.

Презентация к уроку математики по теме «Логарифмы и их свойства. Основное логарифмическое тождество. Натуральные и десятичные логарифмы»

Автор: Савинова Лариса Николаевна – преподаватель ГБОУ СПО

«Орехово-Зуевский промышленно-экономический колледж имени Саввы Морозова»

Московской области

Логарифмы и их свойства. Основное логарифмическое тождество. Натуральные и десятичные логарифмы.

Дидактическая цель

• дать понятие логарифма с произвольным основанием;
• сформировать навыки вычисления логарифмов по определению;
• овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы логарифмирования и потенцирования, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;
• дать понятие натурального и десятичного логарифма;
• овладеть умением вычислять логарифмы с помощью микрокалькулятора.

• Основные знания и умения
• Студенты должны
• знать :

• определение логарифма числа; основное логарифмическое тождество; свойства логарифмов; определение натурального и десятичного логарифма; формулу перехода к новому основанию;
• определение логарифма числа;
• основное логарифмическое тождество;
• свойства логарифмов;
• определение натурального и десятичного логарифма;
• формулу перехода к новому основанию;

• уметь :

• логарифмировать выражения по данному основанию;
• вычислять значения простейших логарифмических выражений, используя определение и свойства логарифма;
• решать простейшие логарифмические уравнения;
• вычислять логарифмы на микрокалькуляторе.

1. Определение логарифма

• Рассмотрим показательное уравнение

• При это уравнение не имеет решений; при показательное уравнение имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом b по основанию а и обозначают .

Определение.

• Логарифмом положительного числа b по основанию а , где , называется показатель степени, в которую надо возвести основание а , чтобы получить число b , т.е.

Формулу

(где ) называют основным логарифмическим тождеством.

На определение логарифма возможны три типа упражнений:

• на определение логарифма по данному числу и данному основанию;
• определение основания логарифмирования по числу и логарифму;
• определение числа по логарифму и основанию.

Примеры. Заполнить пропуски :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Примеры. Заполнить пропуски :

7.

8.

9.

10.

Примеры.

11. Вычислить

Примеры.

12. ;

13. Решить уравнение

2. Свойства логарифмов

• При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:
• При любом и любых положительных чисел х и у выполнены равенства:

Свойства логарифмов:

1.

2.

3.

логарифм произведения равен сумме логарифмов:

4. логарифм частного равен разности логарифмов:

5. логарифм степени равен произведению

показателя степени на логарифм основания этой степени:

• Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразований выражений, содержащих логарифмы. При этом используются формулы перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

1.

2.

3.

4.

.

Примеры:

14.

15.

16.

17.

18.

Примеры:

14.

15.

16.

17.

18.

3. Логарифмирование и потенцирование

• Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием .
• Если число х представлено алгебраическим выражением, содержащим числа a , b , c , ..., то найти логарифм этого выражения – значит выразить логарифм числа х через логарифмы чисел a , b , c , .... Нахождение положительного числа по его логарифму называют потенцированием .

Примеры.

19. Прологарифмировать выражения:

Ответ.

20. Пропотенцировать выражения:

Ответ.

4. Десятичные и натуральные логарифмы .

• Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут:
• Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию е , где

– иррациональное число, и пишут:

• Натуральные и десятичные логарифмы связаны формулами

Вычисление логарифмов на микрокалькуляторе.

• Вычисление числа е на микрокалькуляторе проводится по программе:

1 SHIFT e x Ответ: 2,718281829.

• Вычисление числа lg b и ln b проводится по программе:

b lg и b l п .

• Например , вычисляя lg 13 и ln 13 , набираем на микрокалькуляторе:

13 lg Ответ: 1,113943352;

13 l п Ответ: 2,564949358.

• Чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию, достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов. Для этого используется формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию
• Из этой формулы при с = 10 и с = е получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:

Пример. С помощью микрокалькулятора вычислить

.

.

• Запишем данный логарифм следующим образом:

или

• Вычисляем на микрокалькуляторе по программе:

80 lg / 3 lg = 3,988692535

80 l п / 3 l п = 3,988692535

Закрепление материала Ответьте на вопросы:

• Что называется логарифмом? Записать на доске основное логарифмическое тождество. Чему равен логарифм произведения? Чему равен логарифм частного? Чему равен логарифм степени? Почему Запишите формулы перехода логарифма от одного основания к другому. Что такое десятичный логарифм и как он записывается? Что такое натуральный логарифм и как он записывается?
• Что называется логарифмом?
• Записать на доске основное логарифмическое тождество.
• Чему равен логарифм произведения?
• Чему равен логарифм частного?
• Чему равен логарифм степени?
• Почему
• Запишите формулы перехода логарифма от одного основания к другому.
• Что такое десятичный логарифм и как он записывается?
• Что такое натуральный логарифм и как он записывается?

Вычислите устно:

Упростить выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством:

Упростить выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством:

Упростить выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством:

Упростить выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством:

Упростить выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством:

Упростить выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством:

Упростить выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством:

Упростить выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством:

Найти число х по определению логарифма:

Итоги занятия

• На уроке изучили логарифмы и их свойства.
• Обобщили понятие степени с действительным показателем и закрепили навыки действий со степенями.
• Вывели формулы перехода логарифма от одного основания к другому.
• Студенты развивали умение быстро и правильно вычислять логарифмы «в уме» и с помощью микрокалькулятора.
• Студенты научились логарифмировать и потенцировать выражения.
• Закрепили умения вычислять логарифмические выражения, используя определение, свойства логарифма и формулы перехода.

Итоги занятия

• Внимание студентов было обращено на приемы оформления, рациональную запись решения, на умение пользоваться математической символикой в процессе решения упражнений.
• На занятии воспитывались аккуратность, внимательность при решении упражнений, способности доводить любое учебное задание до конца, правильно оценивать результаты своей работы, усиливалось внимание к развитию творческого мышления и повышению интереса к предмету «математика».

Домашнее задание

• Учебник: Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл.: стр. 233 – 235 прочитать; материал изучить по конспекту.
• Выполнить упражнения: № 477, 481, 484, 490, 491 (б, г), 493, 495.