Опорный конспект

Комплексные числа

Для определения понятия комплексного числа решим уравнение x²+1=0. Данное уравнение не имеет корней, так как x² не может быть отрицательным на множестве действительных чисел. Однако на множестве комплексных чисел данное уравнение имеет корень, обозначим этот корень буквой i . Таким образом, i – это комплексное число называемое мнимой единицей, такое, что i²=-1.

Операции над мнимой единицей:

i¹⁸=( i²)⁹=(-1)⁹=-1; i²⁴=( i²)¹²=(-1)¹²=1; i¹³=i¹²*i=( i²)⁶*i =(-1)⁶*i =i

Задание 1: Определите значение мнимой единицы в пятнадцатой, двадцатой и сотой степени.

Определение: Комплексными числами называют выражения вида z=a+bi, где a и b действительные числа. Например действительная часть комплексного числа 5 +7i равна 5, мнимая 7.

Два действительных числа называются равными, если их действительные и мнимые части равны.

Задание 2: Запишите действительную часть чисел -5+3i, 2-4i, 8+2i. Определите мнимую часть -6+8i, 2-9i, 3+4i.

Операции с комплексными числами:

1. При сложении двух комплексных чисел складывают действительную и мнимую часть:

ПРИМЕР:(-5+3i)+( 2-4i)=(-5+2)+(3+(-4)) i=-3+(-1) i=-3- i

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Комплексное число называется противоположным другому комплексному числу, если их действительная и мнимая части отличаются знаками.

ПРИМЕР: число 2-4i , ему противоположное -2+4i

При вычитании двух комплексных чисел складывают первое число с противоположным второго.

ПРИМЕР: (-5+3i)-( 2-4i)= :(-5+3i)+(- 2+4i)= (-5-2)+(3+4) i=-7+7 i

1. При умножении двух комплексных чисел действует правило умножения скобки на скобку, с учетом того что i²=-1

ПРИМЕР:

(-5+3i)*( 2-4i)=-5*2+(-5)*(-4i)+3i*2+ 3i*(-4i)=10+20i+6i-12i²=
10+20i+6i-12(-1)²=10+20i+6i+12=22+26i

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Комплексное число называется сопряженным другому комплексному числу, если мнимые части отличаются знаками.
   ПРИМЕР: число 2-4i , ему сопряженное 2-4i

При делении двух комплексных чисел числитель и знаменатель умножается на число сопряженное знаменателю
ПРИМЕР:

Задание 3:

1. Найдите сумму чисел (-6+8i)+(2-9i)

2. Найдите число, противоположное 2-9i

3. Найдите разность чисел (-6+8i)-(2-9i)

4. Найдите произведение чисел: (-6+8i)*(2-9i)

5. Найдите число сопряженное 2-9i

6. Найдите частное чисел

ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИЙ

1. При решении квадратного уравнения

1. Решите уравнение
   2z-3i+5iz+4=5
   (2z+5iz)+(4-3i)=5
   (2z+5iz)=5-(4-3i)
   (2+5i)z=1+3i
   z=

Z=2i

1. Задание 4: Решите уравнения ;
   

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Действительная и мнимая части комплексного числа z=a+bi выражаются через его модуль и аргумент
a=r*cos

b=r*sin

z= r*cosi r*sin=r*(cos r*sin

Задание 5: Представите 3+i и -2+4i в тригонометрической форме

ФОРМУЛЫ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ ДЕЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ, ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ

Задание 6: Найдите произведение, частное и 10 степень от чисел 3+i и -2+4i в тригонометрической форме.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА, ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛАМИ В ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФОРМЕ

Z= r*

Задание 7: Представите -2-2i и 1-i в показательной форме.